第3章 第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 [解析] 　 构 造 Ｆ ( ｘ ) ＝ ｆ(ｘ) ｅｘ ꎬ 则 Ｆ ′ ( ｘ ) ＝ ｅｘ ｆ ′(ｘ) － ｅｘ ｆ(ｘ) ｅ２ｘ ＝ ｆ ′(ｘ) － ｆ(ｘ) ｅｘ ꎬ导函数 ｆ ′ ( ｘ) 满足 ｆ ′(ｘ) < ｆ(ｘ)ꎬ则 Ｆ ′(ｘ) < ０ꎬＦ(ｘ)在 Ｒ 上单调递减ꎬ根 据单调性可知选 Ｄ. 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 利用导数关系构造函数的一些常见结构 １. 对于不等式 ｆ ′( ｘ) ＋ ｇ′( ｘ) > ０ꎬ构造函数 Ｆ( ｘ) ＝ ｆ(ｘ) ＋ ｇ(ｘ). ２. 对于不等式 ｆ ′( ｘ) － ｇ′( ｘ) > ０ꎬ构造函数 Ｆ( ｘ) ＝ ｆ(ｘ) － ｇ(ｘ). 特别地ꎬ对于不等式 ｆ ′ ( ｘ) > ｋꎬ构造函数Ｆ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ) － ｋｘ. ３. 对于不等式 ｆ ′(ｘ) ｇ(ｘ) ＋ ｆ( ｘ) ｇ′(ｘ) > ０ꎬ构造函数 Ｆ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ)􀅰ｇ(ｘ). ４. 对于不等式 ｆ ′(ｘ) ｇ(ｘ) － ｆ( ｘ) ｇ′(ｘ) > ０ꎬ构造函数 Ｆ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) . ５. 对 于 不 等 式 ｘｆ ′ ( ｘ ) ＋ ｎｆ ( ｘ ) > ０ꎬ 构 造 函 数 Ｆ(ｘ) ＝ ｘｎ􀅰ｆ(ｘ). ６. 对于不等式 ｆ ′( ｘ) ＋ ｆ( ｘ) > ０ꎬ构造函数 Ｆ(ｘ) ＝ ｅｘ 􀅰ｆ(ｘ). ７. 对于不等式 ｆ ′(ｘ) ＋ ｋｆ(ｘ) > ０ꎬ构造函数 Ｆ(ｘ) ＝ ｅｋｘ 􀅰ｆ(ｘ). 〔变式训练 ３〕 　 已知偶函数 ｆ(ｘ)(ｘ≠０)的导函数为 ｆ ′(ｘ)ꎬ且满足 ｆ( － １) ＝ ０ꎬ当 ｘ > ０ 时ꎬ２ｆ(ｘ) > ｘｆ ′(ｘ)ꎬ则使得 ｆ(ｘ) > ０ 成立的 ｘ 的取值范围是　 　 　 　 　 . ２.根据不等式的结构特征构造函数 　 　 例 ８ (２０２２􀅰高三八省(市)学业质量评价联 考)设 ａꎬｂ 都为正数ꎬｅ 为自然对数的底数ꎬ若 ａｅａ ＋ １ ＋ ｂ < ｂｌｎ ｂꎬ则 ( Ｂ ) Ａ. ａｂ > ｅ Ｂ. ｂ > ｅａ ＋ １ Ｃ. ａｂ < ｅ Ｄ. ｂ < ｅａ ＋ １ [解析] 　 由已知ꎬａｅａ ＋ １ < ｂ( ｌｎ ｂ － １) ＝ ｂｌｎ ｂｅ ꎬ则 ｅ ａ ｌｎ ｅａ < ｂｅ ｌｎ ｂ ｅ . 设 ｆ(ｘ) ＝ ｘｌｎ ｘꎬ则 ｆ(ｅ ａ) < ｆ ｂｅ æ è ç ö ø ÷. 因为 ａ > ０ꎬ则 ｅａ > １. 又 ｂ( ｌｎ ｂ － １) > ０ꎬｂ > ０ꎬ则 ｌｎ ｂ > １ꎬ即 ｂ > ｅꎬ从而 ｂｅ > １. 当 ｘ > １ 时ꎬｆ ′( ｘ) ＝ ｌｎ ｘ ＋ １ > ０ꎬ则 ｆ (ｘ)在(１ꎬ ＋ ∞ )内单调递增ꎬ所以 ｅａ < ｂｅ ꎬ即 ｂ > ｅ ａ ＋ １ . 故选 Ｂ. 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 　 　 当不能通过简单的作差、作商ꎬ或通过化简转化、 找中间量ꎬ或利用基本初等函数的图象和性质比较大 小时ꎬ需要根据问题的同构ꎬ构造函数ꎬ求导研究函数 的单调性ꎬ通过函数值比较大小. 〔变式训练 ４〕 　 已知 ａ ＝ ４ｌｎ ３πꎬｂ ＝ ３ｌｎ ４πꎬｃ ＝ ４ｌｎ π３ꎬ则下列结论正 确的是 ( 　 ) Ａ. ｂ < ｃ < ａ Ｂ. ｃ < ｂ < ａ Ｃ. ｂ < ａ < ｃ Ｄ. ａ < ｂ < ｃ 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[１７] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二课时　 导数与函数的极值、最值 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 函数的极值 １.函数的极值 (１)设函数 ｆ(ｘ)在点 ｘ０ 附近有定义ꎬ如果对 ｘ０ 附 近的所有的点ꎬ都有 ｆ(ｘ) 　 　 　 　 ｆ(ｘ０)ꎬ那么 ｆ(ｘ０) 是函数 ｆ(ｘ)的一个极大值ꎬ记作 ｆ(ｘ)极大值 ＝ ｆ(ｘ０)ꎻ如 果对 ｘ０ 附近的所有的点ꎬ都有ｆ(ｘ) 　 　 　 　 ｆ(ｘ０)ꎬ那 么 ｆ(ｘ０)是函数 ｆ( ｘ)的一个极小值ꎬ记作 ｆ(ｘ)极小值 ＝ ｆ(ｘ０) . 极大值与极小值统称为极值. (２)当函数 ｆ(ｘ)在 ｘ０ 处连续时ꎬ判别 ｆ(ｘ０)是极大 (小)值的方法: 如果 ｘ < ｘ０ 有 ｆ ′