第3章 第2讲 第1课时 导数与函数的单调性-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 第二讲　 导数在研究函数中的应用 第一课时　 导数与函数的单调性 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点　 函数的单调性 (１)设函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)在某个区间内 　 　 　 　 ꎬ若 ｆ ′(ｘ)　 　 　 　 ０ꎬ则 ｆ(ｘ)为增函数ꎬ若 ｆ ′(ｘ) 　 　 　 　 ０ꎬ则 ｆ(ｘ)为减函数. (２)求可导函数 ｆ(ｘ)单调区间的步骤: ①确定 ｆ(ｘ)的　 　 　 　 ꎻ ②求导数 ｆ ′(ｘ)ꎻ ③令 ｆ ′(ｘ)　 　 　 ０(或 ｆ ′(ｘ) 　 　 　 ０)ꎬ解出相应 的 ｘ 的范围ꎻ ④当　 　 　 　 时ꎬｆ(ｘ)在相应区间上是增函数ꎬ当 　 　 　 　 时ꎬｆ(ｘ)在相应区间上是减函数. 归 纳 拓 展 　 导数与函数单调性的关系 (１) ｆ ′(ｘ) > ０(或 ｆ ′(ｘ) < ０)是 ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)内单调 递增(或递减)的充分不必要条件. (２) ｆ ′(ｘ)≥０(或 ｆ ′( ｘ)≤０) ( ｆ ′( ｘ)不恒等于 ０)是 ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)内单调递增(或递减)的充要条件. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)若函数 ｆ( ｘ)在(ａꎬｂ)内单调递增ꎬ那么一定有 ｆ ′(ｘ) > ０. ( 　 ) (２)若函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)内恒有 ｆ′(ｘ)≥０ꎬ则 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)上一定为增函数. ( 　 ) (３)在(ａꎬｂ)内 ｆ ′(ｘ)≤０ 且 ｆ ′( ｘ) ＝ ０ 的根有有限 个ꎬ则 ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)内单调递减. ( 　 ) (４)如果函数 ｆ(ｘ)在某个区间内恒有 ｆ ′(ｘ) ＝ ０ꎬ则 ｆ(ｘ)在此区间内没有单调性. ( 　 ) (５)因为 ｙ ＝ １ｌｎ ｘ的导函数为 ｙ′ ＝ － １ ｘ(ｌｎ ｘ) ２ ꎬ∵ ｘ > ０ꎬ ∴ ｙ′ < ０ꎬ因此 ｙ ＝ １ｌｎ ｘ的减区间为(０ꎬ ＋ ∞ ) . ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (选修 ２Ｐ８９Ｔ３ 改编)如图是函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的导函数 ｙ ＝ ｆ ′(ｘ)的图象ꎬ则下列判断正确的是 ( 　 ) Ａ. 在区间( － ２ꎬ１)上 ｆ(ｘ)单调递增 Ｂ. 在区间(１ꎬ３)上 ｆ(ｘ)单调递减 Ｃ. 在区间(４ꎬ５)上 ｆ(ｘ)单调递增 Ｄ. 在区间(３ꎬ５)上 ｆ(ｘ)单调递增 ３. (选修 ２Ｐ９７Ｔ１ 改编)函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ － ｌｎ ｘ 的单调递减 区间为 ( 　 ) Ａ. (０ꎬ１) Ｂ. (０ꎬ ＋ ∞ ) Ｃ. (１ꎬ ＋ ∞ ) Ｄ. ( － ∞ ꎬ０)ꎬ(１ꎬ ＋ ∞ ) ４. (选修 ２Ｐ９９Ｔ１２ 改编)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ １ ＋ ｘ － ｓｉｎ ｘꎬ 则ｆ(２)ꎬｆ(３)ꎬｆ(π)的大小关系正确的是 ( 　 ) Ａ. ｆ(２) > ｆ(３) > ｆ(π) Ｂ. ｆ(３) > ｆ(２) > ｆ(π) Ｃ. ｆ(２) > ｆ(π) > ｆ(３) Ｄ. ｆ(π) > ｆ(３) > ｆ(２) 题组三　 走向高考 ５. (２０１６􀅰全国卷Ⅰ)若函数 ｆ( ｘ) ＝ ｘ － １３ ｓｉｎ ２ｘ ＋ ａｓｉｎ ｘ在( － ∞ ꎬ ＋ ∞ )上单调递增ꎬ则 ａ 的取值范围 是 ( 　 ) Ａ. － １ꎬ１[ ] Ｂ. － １ꎬ １３[ ] Ｃ. － １３ ꎬ １ ３[ ] Ｄ. － １ꎬ － １ ３[ ] ６. (２０２２􀅰全国甲卷)已知 ａ ＝ ３１３２ꎬｂ ＝ ｃｏｓ １ ４ ꎬｃ ＝４ｓｉｎ １ ４ ꎬ 则 ( 　 ) Ａ. ｃ > ｂ > ａ Ｂ. ｂ > ａ > ｃ Ｃ. ａ > ｂ > ｃ Ｄ. ａ > ｃ > ｂ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点突破􀅰互动探究 ＫＡＯ ＤＩＡＮ ＴＵ ＰＯ ＨＵ ＤＯＮＧ ＴＡＮ ＪＩＵ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点 函数的单调性 考向 １　 不含参数的函数的单调性———自主练透 例 １ (１)下列函数中ꎬ在(０ꎬ ＋ ∞ )上单调递 增的是 ( 　 )