第3章 第1讲 导数的概念及运算-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 第三章　 导数及其应用 第一讲　 导数的概念及运算 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 导数的概念与导数的运算 １.函数的平均变化率 一般地ꎬ已知函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)ꎬ把式子 ｆ(ｘ２) － ｆ(ｘ１) ｘ２ － ｘ１ 称为函数ｙ ＝ ｆ(ｘ)从 ｘ１ 到 ｘ２ 的平均变化率ꎬ还可以表 示为 Δｙ Δｘ ＝ ｆ(ｘ２) － ｆ(ｘ１) ｘ２ － ｘ１ . ２.导数的概念 (１) ｆ(ｘ)在 ｘ ＝ ｘ０ 处的导数就是 ｆ(ｘ)在 ｘ ＝ ｘ０ 处的 　 　 　 　 　 　 ꎬ记作:ｙ′ ｜ ｘ ＝ ｘ０ 或 ｆ ′( ｘ０ )ꎬ即 ｆ ′( ｘ０ ) ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ(ｘ０ ＋ Δｘ) － ｆ(ｘ０) Δｘ . (２)当把上式中的 ｘ０ 看作变量 ｘ 时ꎬｆ ′(ｘ)即为ｆ(ｘ) 的导函数ꎬ简称导数ꎬ即 ｙ′ ＝ ｆ ′(ｘ) ＝ 　 　 　 　 　 　 . ３.基本初等函数的导数公式 (１)Ｃ′ ＝ 　 　 　 　 (Ｃ 为常数)ꎻ (２)(ｘｎ) ′ ＝ 　 　 　 　 (ｎ∈Ｑ∗) (３)(ｓｉｎ ｘ) ′ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (４)(ｃｏｓ ｘ) ′ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (５)(ａｘ) ′ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (６)(ｅｘ) ′ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (７)(ｌｏｇａｘ) ′ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (８)(ｌｎ ｘ) ′ ＝ 　 　 　 　 . ４.导数的运算法则 (１)[ ｆ(ｘ) ± ｇ(ｘ)] ′ ＝ 　 　 　 　 　 　 . (２)[ ｆ(ｘ)􀅰ｇ(ｘ)] ′ ＝ 　 　 　 　 　 　 . 特别地:[Ｃ􀅰ｆ(ｘ)] ′ ＝ 　 　 　 　 (Ｃ 为常数) (３) ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)[ ]′ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . ５.复合函数的导数 复合函数 ｙ ＝ ｆ[ｇ(ｘ)]的导数和函数 ｙ ＝ ｆ(ｕ)ꎬｕ ＝ ｇ(ｘ)的导数间的关系为　 　 　 　 　 　 . 即 ｙ 对 ｘ 的导 数等于 ｙ 对 ｕ 的导数与 ｕ 对 ｘ 的导数的乘积. 知识点二　 导数的几何意义 函数 ｆ(ｘ)在 ｘ ＝ ｘ０ 处的导数就是曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在 点Ｐ(ｘ０ꎬｆ(ｘ０))处的切线的斜率ꎬ即曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在点 Ｐ(ｘ０ꎬｆ(ｘ０))处的切线的斜率 ｋ ＝ ｆ ′(ｘ０)ꎬ切线方程为 　 　 　 　 　 　 . 归 纳 拓 展 １. １ｆ(ｘ)[ ]′ ＝ － ｆ ′(ｘ) ｆ ２(ｘ) . ２. ｆ ′(ｘ０)不一定为 ０ꎬ但[ ｆ(ｘ０)] ′一定为 ０. ３. 奇函数的导数是偶函数ꎬ偶函数的导数是奇函数ꎬ周 期函数的导数还是周期函数. ４. 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的导数 ｆ ′(ｘ)反映了函数 ｆ(ｘ)的瞬时 变化趋势ꎬ其正负号反映了变化的方向ꎬ其大小 ｜ ｆ ′(ｘ) ｜反映了变化的快慢ꎬ ｜ ｆ ′(ｘ) ｜越大ꎬ曲线在这 点处的切线越“陡” . 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)在曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ)上某点处的切线与曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 过某点的切线意义相同. ( 　 ) (２)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( 　 ) (３)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切 线. ( 　 ) (４) ｓｉｎ π３ æ è ç ö ø ÷′ ＝ ｃｏｓ π３ . ( 　 ) (５)(２ｘ) ′ ＝ ｘ􀅰２ｘ － １ . ( 　 ) (６)[ｌｎ( － ｘ)] ′ ＝ １ｘ . ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (多选题)(选修 ２Ｐ７５Ｔ１ 改编)下列结论中不正确的 是 ( 　 ) Ａ. 若 ｙ ＝ ｃｏｓ １ｘ ꎬ则 ｙ′ ＝ － １ ｘ ｓｉｎ １ ｘ Ｂ. 若 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２ꎬ则 ｙ′ ＝ ２ｘｃｏｓ ｘ２ Ｃ. 若 ｙ ＝ ｃｏｓ ５ｘꎬ则 ｙ′ ＝ － ｓｉｎ ５ｘ Ｄ. 若 ｙ ＝ １２ ｘｓｉｎ ２ｘꎬ则 ｙ′ ＝ ｘｓｉｎ ２ｘ ３. (选修 ２Ｐ８１习题 Ｔ６ 改编)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ２ｘｆ ′(１) ＋ ｘｌｎ ｘꎬ则ｆ ′(１) ＝ ( 　 ) Ａ. ｅ Ｂ. １ Ｃ. － １ Ｄ. － ｅ ４. (选修 ２Ｐ８２Ｔ１０ 改编)在高台跳水运动中ꎬｔ ｓ 时运动 员相对于水面的高度(单位:ｍ)是 ｈ( ｔ) ＝ － ４. ９ｔ２ ＋ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋