第2章 第9讲 函数模型及其应用-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 [听课记录] 　 　 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ １.用二分法求函数零点的方法:定区间ꎬ找中点ꎬ中值 计算两边看ꎬ同号去ꎬ异号算ꎬ零点落在异号间. 周而 复始怎么办? 精确度上来判断. ２.利用二分法求近似解需注意的问题 (１)在第一步中:①区间长度尽量小ꎻ②ｆ(ａ)ꎬｆ(ｂ)的 值比较容易计算且 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ) < ０. (２)根据函数的零点与相应方程根的关系ꎬ求函数的 零点与相应方程的根是等价的. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 名师讲坛􀅰素养提升 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＪＩＡＮＧ ＴＡＮ ＳＵ ＹＡＮＧ ＴＩ ＳＨＥＮＧ 函数零点的综合问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 例 ６ (２０２２􀅰黑龙江大庆三模)已知定义域为 Ｒ 的偶函数满足 ｆ(２ － ｘ) ＝ ｆ(ｘ)ꎬ当 ０≤ｘ≤１ 时ꎬｆ(ｘ) ＝ ｅ１ － ｘ － １ꎬ则方程 ｆ(ｘ) ＝ １｜ ｘ － １ ｜在区间[ － ３ꎬ５]上所 有解的和为 ( Ａ ) Ａ. ８ Ｂ. ７ Ｃ. ６ Ｄ. ５ [解析] 　 因为函数 ｆ( ｘ)满足 ｆ(２ － ｘ) ＝ ｆ( ｘ)ꎬ所 以函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线 ｘ ＝ １ 对称ꎬ 又函数 ｆ ( ｘ) 为偶函数ꎬ所以 ｆ (２ － ｘ) ＝ ｆ ( ｘ) ＝ ｆ( － ｘ)ꎬ 所以函数 ｆ(ｘ)是周期为 ２ 的函数ꎬ 又ｇ(ｘ) ＝ １｜ ｘ － １ ｜的图象也关于直线 ｘ ＝ １ 对称ꎬ 作出函数 ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)在区间[ － ３ꎬ５]上的图象ꎬ 如图所示: 由图可知ꎬ函数 ｆ( ｘ)与ｇ(ｘ)的图象在区间[ － ３ꎬ ５]上有 ８ 个交点ꎬ且关于直线 ｘ ＝ １ 对称ꎬ 所以方程 ｆ(ｘ) ＝ １｜ ｘ － １ ｜在区间[ － ３ꎬ５]上所有解 的和为 ４ × ２ × １ ＝ ８ꎬ故选 Ａ. 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 　 　 以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相 关知识为基础ꎬ通过作图、想象ꎬ发现该问题的相关数 学知识及其联系ꎬ快速解决该问题. 〔变式训练 ３〕 　 ( ２０２３ 􀅰 山西五校联考 ) 已 知 函 数 ｆ ( ｘ ) ＝ － ２ｘꎬｘ≤０ꎬ － ｘ２ ＋ ｘꎬｘ > ０ꎬ{ 若函数ｇ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ) － ａ 恰有三个互 不相同的零点 ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬ则 ｘ１ｘ２ｘ３ 的取值范围是 ( 　 ) Ａ. － １３２ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ Ｂ. － １１６ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ Ｃ. ０ꎬ １３２ æ è ç ö ø ÷ Ｄ. ０ꎬ １１６ æ è ç ö ø ÷ 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[１４] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第九讲　 函数模型及其应用 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点　 函数模型及其应用 １.几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ ＋ ｂ(ａꎬｂ 为常数ꎬａ≠０) 反比例函数模型 ｆ(ｘ) ＝ ｋｘ ＋ ｂ(ｋꎬｂ 为常数且 ｋ≠０) 二次函数模型 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａꎬｂꎬｃ 为常数ꎬａ≠０) 指数函数模型 ｆ(ｘ) ＝ ｂａｘ ＋ ｃ(ａꎬｂꎬｃ 为常数ꎬｂ≠０ꎬａ > ０ 且 ａ ≠１) 对数函数模型 ｆ(ｘ) ＝ ｂｌｏｇａｘ ＋ ｃ(ａꎬｂꎬｃ 为常数ꎬｂ≠０ꎬａ > ０ 且 ａ≠１) 幂函数模型 ｆ(ｘ) ＝ ａｘｎ ＋ ｂ(ａꎬｂ 为常数ꎬａ≠０) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０５６ 高考一轮总复习·数学 　 　 ２.三种函数模型的性质 　 　 函数 性质　 　 ｙ ＝ ａｘ(ａ > １) ｙ ＝ ｌｏｇａｘ(ａ > １) ｙ ＝ ｘｎ(ｎ > ０) 在(０ꎬ ＋ ∞ ) 上的增减性 单调　 　 　 单调　 　 　 单调递增 增长速度 越来越　 　 越来越　 　 相对平稳 图象的变化 随 ｘ 的增大 逐渐表现为 与　 　 平行 随 ｘ 的增大 逐渐表现为 与　 　 平行 随 ｎ 值变化 而各有不同 值的比较 存在一个 ｘ０ꎬ当 ｘ > ｘ０ 时ꎬ有 ｌｏ