第2章 第8讲 函数与方程-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 (２)(角度 １)设函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域为实数集 Ｒꎬ则 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ － １)与 ｙ ＝ ｆ(１ － ｘ)的图象关于( 　 ) Ａ. 直线 ｙ ＝ ０ 对称 Ｂ. 直线 ｘ ＝ ０ 对称 Ｃ. 直线 ｙ ＝ １ 对称 Ｄ. 直线 ｘ ＝ １ 对称 (３)(角度 ２)(多选题)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｜ ｌｇ ｘ ｜ ꎬ则 ( 　 ) Ａ. ｆ(ｘ)是偶函数 Ｂ. ｆ(ｘ)值域为[０ꎬ ＋ ∞ ) Ｃ. ｆ(ｘ)在(０ꎬ ＋ ∞ )上递增 Ｄ. ｆ(ｘ)有一个零点 (４)(角度 ３)函数 ｆ(ｘ)是定义在[ － ４ꎬ４]上的偶函数ꎬ 其在[０ꎬ４]上的图象如图所示ꎬ那么不等式 ｆ(ｘ)ｃｏｓ ｘ < ０ 的解集为　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 名师讲坛􀅰素养提升 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＪＩＡＮＧ ＴＡＮ ＳＵ ＹＡＮＧ ＴＩ ＳＨＥＮＧ 利用数形结合思想解题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 例 ８ (２０１６􀅰课标Ⅱꎬ１２)已知函数 ｆ(ｘ)(ｘ∈ Ｒ)满足 ｆ( － ｘ) ＝ ２ － ｆ(ｘ)ꎬ若函数 ｙ ＝ ｘ ＋ １ｘ 与 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 图象的交点为(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ􀆺ꎬ(ｘｍꎬｙｍ)ꎬ则∑ ｍ ｉ ＝ １ (ｘｉ ＋ ｙｉ) ＝ ( Ｂ ) Ａ. ０ Ｂ. ｍ Ｃ. ２ｍ Ｄ. ４ｍ [分析] 　 分析出函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)和 ｙ ＝ ｘ ＋ １ｘ 的图象 都关于点(０ꎬ１)对称ꎬ进而得两函数图象的交点成对出 现ꎬ且每一对交点都关于点(０ꎬ１)对称ꎬ从而得出结论. [解析] 　 解法一:由 ｆ( － ｘ) ＝ ２ － ｆ( ｘ)可知 ｆ( ｘ) 的图象关于点(０ꎬ１)对称ꎬ又易知 ｙ ＝ ｘ ＋ １ｘ ＝ １ ＋ １ ｘ 的 图象关于点(０ꎬ１)对称ꎬ所以两函数图象的交点成对出 现ꎬ且每一对交点都关于点(０ꎬ１)对称ꎬ∴ ∑ ｍ ｉ ＝ １ ( ｘｉ ＋ ｙｉ) ＝ ０ × ｍ２ ＋ ２ × ｍ ２ ＝ｍ. 故选 Ｂ. 解法二:特例:令 ｆ(ｘ) ＝ ｘ ＋ １ꎬ则 ｍ ＝ ２ꎬ又 ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ ２ꎬ∴ 选Ｂ. 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 　 　 求解函数图象的应用问题ꎬ其实质是利用数形结 合思想解题ꎬ其思维流程一般是: 一画图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋通过五点作图法或函数图象变换法画出 有关函数的图象 二分析 ↓ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋准确分析函数图象的特征ꎬ定性分析、定 量分析 三转化 ↓ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋借助函数图象ꎬ把原问题转化为数量关系 比较明确的问题 四结论 ↓ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋解决问题ꎬ并回归题目的要求ꎬ得出正确 结论 〔变式训练 ３〕 　 函数 ｙ ＝ ｌｎ ｜ ｘ － １ ｜的图象与函数 ｙ ＝ － ２ｃｏｓ πｘ( － ２ ≤ｘ≤４)的图象所有交点的横坐标之和等于 ( 　 ) Ａ. ３ Ｂ. ６ Ｃ. ４ Ｄ. ２ 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[１３] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第八讲　 函数与方程 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 函数的零点 １.函数零点的定义 对于函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)(ｘ∈Ｄ)ꎬ把使　 　 　 　 成立的 实数 ｘ 叫做函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)(ｘ∈Ｄ)的零点. 注:函数的零点不是点. 是函数 ｆ(ｘ)与 ｘ 轴交点的 横坐标ꎬ而不是 ｙ ＝ ｆ(ｘ)与 ｘ 轴的交点. ２.几个等价关系 方程 ｆ(ｘ) ＝ ０