第2章 第6讲 对数与对数函数-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 第六讲　 对数与对数函数 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 对数与对数运算 １.对数的概念 (１)对数的定义:如果 ａｘ ＝ Ｎ(ａ > ０ꎬ且 ａ≠１)ꎬ那 么数 ｘ 叫做以 ａ 为底 Ｎ 的对数ꎬ记作　 　 　 　 　 ꎬ其中 　 　 　 　 　 叫做对数的底数ꎬ　 　 　 　 　 叫做真数. (２)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 ａ(ａ > ０ꎬ且 ａ≠１) 　 　 　 　 常用对数 底数为　 　 　 　 　 　 　 　 自然对数 底数为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ２.对数的性质与运算法则 (１)对数的性质: ①ｌｏｇａ１ ＝ 　 　 　 　 ꎻ ②ｌｏｇａａ ＝ 　 　 　 　 (其中 ａ > ０ 且 ａ≠１)ꎻ ③ｌｏｇａａｂ ＝ 　 　 　 　 (ａ > ０ꎬａ≠１ꎬｂ∈Ｒ) . (２)对数恒等式: ａｌｏｇａＮ ＝ 　 　 　 　 (其中 ａ > ０ 且 ａ≠１ꎬＮ > ０) . (３)对数的换底公式: ｌｏｇｂＮ ＝ 　 　 　 　 (ａꎬｂ 均大于零且不等于 １ꎬＮ > ０) . (４)对数的运算法则: 如果 ａ > ０ 且 ａ≠１ꎬＭ > ０ꎬＮ > ０ꎬ那么 ①ｌｏｇａ(ＭＮ) ＝ 　 　 　 　 ꎻ ②ｌｏｇａ Ｍ Ｎ ＝ 　 　 　 　 ꎻ ③ｌｏｇａＭｎ ＝ 　 　 　 　 (ｎ∈Ｒ) . 知识点二　 对数函数的图象与性质 １.对数函数的定义、图象和性质 定义 函数　 　 　 　 　 　 　 　 叫做对数函数 图象 ａ > １ ０ < ａ < １ 性质 定义域:　 　 　 　 　 值域:　 　 　 　 　 当 ｘ ＝ １ 时ꎬｙ ＝ ０ꎬ即过定点　 　 　 　 当 ０ < ｘ < １ 时ꎬｙ < ０ꎻ 当 ｘ > １ 时ꎬ　 　 　 　 当 ０ < ｘ < １ 时ꎬｙ > ０ꎻ 当 ｘ > １ 时ꎬ　 　 　 　 在(０ꎬ ＋ ∞ )上为 　 　 　 　 在(０ꎬ ＋ ∞ )上为 　 　 　 　 　 　 ２.反函数 指数函数 ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)与对数函数 　 　 　 　 (ａ > ０ 且 ａ≠１)互为反函数ꎬ它们的图象关于直线 　 　 　 　 对称. 归 纳 拓 展 １. 指数式与对数式互化 ２. 换底公式的两个重要结论 ①ｌｏｇａｂ ＝ １ ｌｏｇｂａ ꎻ ②ｌｏｇａｍｂｎ ＝ ｎ ｍ ｌｏｇａｂ. 其中 ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ꎬｂ > ０ꎬ且 ｂ≠１ꎬｍꎬｎ∈Ｒ 且 ｍ≠０. ３. 对数函数的图象与底数大小的比较如图ꎬ作直线 ｙ ＝ １ꎬ则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的 底数. 故０ < ｃ < ｄ < １ < ａ < ｂ. 由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右 底数逐渐增大. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０４４ 高考一轮总复习·数学 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)若 Ｍ ＝ Ｎꎬ则 ｌｏｇａＭ ＝ ｌｏｇａＮ(ａ > ０ꎬａ≠１) . ( 　 ) (２)若 ＭＮ > ０ꎬ则 ｌｏｇａ(ＭＮ) ＝ ｌｏｇａＭ ＋ ｌｏｇａＮ. ( 　 ) (３)ｌｏｇ２ｘ２ ＝ ２ｌｏｇ２ｘ. ( 　 ) (４)函数 ｙ ＝ ｌｎ １ ＋ ｘ１ － ｘ与 ｙ ＝ ｌｎ(１ ＋ ｘ) － ｌｎ(１ － ｘ)是同 一函数. ( 　 ) (５)２ ｌｇ ３≠３ ｌｇ ２ . ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (必修 １Ｐ１２７Ｔ３ 改编)写出下列各式的值: (１)ｌｏｇ２ ２ ２ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (２)ｌｏｇ５３ ＋ ｌｏｇ５ １ ３ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (３)ｌｇ ５２ ＋ ２ｌｇ ２ － １ ２ æ è ç ö ø ÷ － １ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (４)(ｌｏｇ２９)􀅰(ｌｏｇ３４) ＝ 　 　 　 　 . ３. (必修 １Ｐ１２７Ｔ５ 改编