第2章 第5讲 指数与指数函数-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 第五讲　 指数与指数函数 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 指数与指数运算 １.根式 (１)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果　 　 　 　 ꎬ那么 ｘ 叫做 ａ 的 ｎ 次方根 ｎ > １ 且 ｎ∈Ｎ∗ 当 ｎ 为奇数时ꎬ正数的 ｎ 次方 根是一个　 　 　 ꎬ负数的 ｎ 次 方根是一个　 　 　 ｎ ａ 零 的 ｎ 次 方 根 是零 当 ｎ 为偶数时ꎬ正数的 ｎ 次方 根有 　 　 　 ꎬ它们互为 　 　 　 　 ± ｎ ａ 负 数 没 有 偶 次 方根 　 　 (２)两个重要公式 ① ｎ ａｎ ＝ 　 　 　 ꎬｎ 为奇数ꎬ ｜ ａ ｜ ＝ 　 　 　 (ａ≥０)ꎬ 　 　 　 (ａ < ０)ꎬ{ ｎ 为偶数. ì î í ïï ï ②( ｎ ａ) ｎ ＝ 　 　 　 (注意 ａ 必须使ｎ ａ有意义) . ２.分数指数幂 (１)正数的正分数指数幂是 ａ ｍ ｎ ＝ 　 　 　 　 (ａ > ０ꎬ ｍꎬｎ∈Ｎ∗ꎬｎ > １) . (２)正数的负分数指数幂是 ａ － ｍ ｎ ＝ １ｎ ａｍ (ａ > ０ꎬｍꎬ ｎ∈Ｎ∗ꎬｎ > １) . (３)０ 的正分数指数幂是 ０ꎬ０ 的负分数指数幂无 意义. ３.有理指数幂的运算性质 (１)ａｒ􀅰ａｓ ＝ 　 　 　 　 (ａ > ０ꎬｒ、ｓ∈Ｑ)ꎻ (２)(ａｒ) ｓ ＝ 　 　 　 　 (ａ > ０ꎬｒ、ｓ∈Ｑ)ꎻ (３)(ａｂ) ｒ ＝ 　 　 　 　 (ａ > ０ꎬｂ > ０ꎬｒ∈Ｑ) . 知识点二　 指数函数的图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)叫指数函数 底数 ａ > １ ０ < ａ < １ 图象 性质 函数的定义域为 Ｒꎬ值域为(０ꎬ ＋ ∞ ) 函数图象过定点(０ꎬ１)ꎬ即 ｘ ＝ ０ 时ꎬｙ ＝ １ 当 ｘ > ０ 时ꎬ恒有 ｙ > １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬ恒有 ０ < ｙ < １ 当 ｘ > ０ 时ꎬ恒有 ０ < ｙ < １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬ恒有 ｙ > １ 函数在定义域 Ｒ 上为 增函数 函数在定义域 Ｒ 上为 减函数 归 纳 拓 展 １. 画指数函数 ｙ ＝ ａｘ (ａ > ０ 且 ａ≠１)的图象时注意两 个关键点:(１ꎬａ)ꎬ(０ꎬ１) . ２. 底数 ａ 的大小决定了图象相对位置的高低ꎬ不论是 ａ > １ꎬ还是 ０ < ａ < １ꎬ在第一象限内底数越大ꎬ函数图 象越高ꎬ即“底大图高” . ３. ｆ(ｘ) ＝ ａｘ 与ｇ(ｘ) ＝ １ａ æ è ç ö ø ÷ ｘ (ａ > ０ 且 ａ≠１)的图象关 于 ｙ 轴对称. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１) ４ ( － ４) ４ ＝ － ４. ( 　 ) (２)分数指数幂 ａ ｍ ｎ 可以理解为 ｍ ｎ 个 ａ 相乘. ( 　 ) (３)ａ － ｍ ｎ ＝ － ａ ｍ ｎ (ｎꎬｍ∈Ｎ∗) . ( 　 ) (４)函数 ｙ ＝ ３􀅰２ｘꎬ与 ｙ ＝ ２ｘ ＋ １都不是指数函数. ( 　 ) (５)若 ａｍ < ａｎ(ａ > ０ꎬ且 ａ≠１)ꎬ则 ｍ < ｎ. ( 　 ) (６)函数 ｙ ＝ ２ － ｘ在 Ｒ 上为单调增函数. ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (必修 １Ｐ１０７Ｔ３ 改编)已知 ａ > ０ꎬ则下列运算正确的 是 ( 　 ) Ａ. ａ ３ ４ 􀅰ａ ４ ３ ＝ ａ Ｂ. ａ ３ ４ 􀅰ａ － ３ ４ ＝ ０ Ｃ. (ａ ２ ３ ) ２ ＝ ａ ４ ９ Ｄ. ａ １ ３ ÷ ａ － ２ ３ ＝ ａ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０４０ 高考一轮总复习·数学 ３. (必修 １Ｐ１０９Ｔ４ 改编)化简 ４ １６ｘ８ｙ４ (ｘ < ０ꎬｙ < ０)得 ( 　 ) Ａ. ２ｘ２ｙ Ｂ. ２ｘｙ Ｃ. ４ｘ２ｙ Ｄ. － ２ｘ２ｙ ４. (必修 １Ｐ１１