第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 第三讲　 函数的奇偶性与周期性 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数 ｆ(ｘ)的定义域内任意一个 ｘ 都有 　 　 　 　 ꎬ那么函 数 ｆ(ｘ)是偶函数 都有　 　 　 　 ꎬ那么 函数ｆ(ｘ)是奇函数 图象 特征 关于　 　 　 对称 关于　 　 　 对称 　 　 知识点二　 函数的周期性 １.周期函数 对于函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬ如果存在一个非零常数 Ｔꎬ使得 当 ｘ 取定义域内的任何值时ꎬ都有　 　 　 　 　 　 ꎬ那么 就称函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 为周期函数ꎬ称 Ｔ 为这个函数的 周期. ２.最小正周期 如果在周期函数 ｆ(ｘ)的所有周期中存在一个　 　 　 　 　 　 ꎬ那么这个　 　 　 　 　 　 就叫做 ｆ(ｘ)的最小 正周期. 归 纳 拓 展 １. 奇(偶)函数定义的等价形式 (１) ｆ( － ｘ) ＝ ｆ(ｘ)⇔ｆ( － ｘ) － ｆ(ｘ) ＝ ０⇔ｆ( － ｘ)ｆ(ｘ) ＝ １ ( ｆ(ｘ)≠０)⇔ｆ(ｘ)为偶函数ꎻ (２) ｆ( － ｘ) ＝ － ｆ(ｘ)⇔ｆ( － ｘ) ＋ ｆ(ｘ) ＝ ０⇔ｆ( － ｘ)ｆ(ｘ) ＝ － １( ｆ(ｘ)≠０)⇔ｆ(ｘ)为奇函数. ２. 若 ｙ ＝ ｆ(ｘ)为奇函数ꎬｙ ＝ ｇ(ｘ)为奇函数ꎬ在公共定 义域内 (１)ｙ ＝ ｆ(ｘ) ± ｇ(ｘ)为奇函数ꎻ (２)ｙ ＝ ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)与 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)为偶函数ꎻ (３)ｙ ＝ ｆ[ｇ(ｘ)]与 ｙ ＝ ｇ[ ｆ(ｘ)]为奇函数. 同理若 ｙ ＝ ｆ(ｘ)与 ｙ ＝ ｇ(ｘ)在公共定义域内均为偶 函数ꎬ则 ｙ ＝ ｆ(ｘ) ± ｇ(ｘ)ꎬｙ ＝ ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)ꎬｙ ＝ ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)ꎬｙ ＝ ｆ[ｇ(ｘ)]ꎬｙ ＝ ｇ[ ｆ(ｘ)]均为偶函数. 若 ｙ ＝ ｆ(ｘ)为奇函数ꎬｙ ＝ ｇ(ｘ)为偶函数ꎬ则在公共 定义域内 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)与 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)均为奇函数ꎬｙ ＝ ｆ[ｇ(ｘ)]与 ｙ ＝ ｇ[ ｆ(ｘ)]为偶函数. ３. 对 ｆ(ｘ)的定义域内任一自变量的值 ｘꎬ最小正周期 为 Ｔ (１)若 ｆ(ｘ ＋ ａ) ＝ － ｆ(ｘ)ꎬ则 Ｔ ＝ ２ ｜ ａ ｜ ꎻ (２)若 ｆ(ｘ ＋ ａ) ＝ １ｆ(ｘ)ꎬ则 Ｔ ＝ ２ ｜ ａ ｜ ꎻ (３)若 ｆ(ｘ ＋ ａ) ＝ ｆ(ｘ ＋ ｂ)ꎬ则 Ｔ ＝ ｜ ａ － ｂ ｜ . ４. 函数图象的对称关系 (１)若函数 ｆ( ｘ)满足关系 ｆ( ａ ＋ ｘ) ＝ ｆ( ｂ － ｘ)ꎬ则 ｆ(ｘ)的图象关于直线 ｘ ＝ ａ ＋ ｂ２ 对称ꎻ (２)若函数 ｆ(ｘ)满足关系 ｆ(ａ ＋ ｘ) ＝ － ｆ(ｂ － ｘ)ꎬ则 ｆ(ｘ)的图象关于点 ａ ＋ ｂ２ ꎬ０ æ è ç ö ø ÷对称. ５. 一些重要类型的奇偶函数 (１)函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ ＋ ａ － ｘ为偶函数ꎬ函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ － ａ － ｘ为奇函数ꎻ (２)函数 ｆ(ｘ) ＝ ａ ｘ － ａ － ｘ ａｘ ＋ ａ － ｘ ＝ ａ ２ｘ － １ ａ２ｘ ＋ １ 为奇函数ꎻ (３)函数 ｆ(ｘ) ＝ ｌｏｇａ ｂ － ｘ ｂ ＋ ｘ为奇函数ꎻ (４)函数 ｆ(ｘ) ＝ ｌｏｇａ(ｘ ＋ ｘ２ ＋ １ )为奇函数. 双 基 自 测 题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)函数 ｙ ＝ ｘ２ꎬｘ∈(０ꎬ ＋ ∞ )是偶函数. ( 　 ) (２)若函数 ｆ(ｘ)是奇函数ꎬ则必有 ｆ(０) ＝ ０. ( 　 ) (３)若函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ ＋ ａ)是偶函数ꎬ则函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的 图象关于直线 ｘ ＝ ａ 对称. ( 　 ) (４)若函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ ＋ ｂ)是奇函数ꎬ则函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的 图象关于点(ｂꎬ０)中心对称. ( 　 ) (５)２π 是函数 ｆ(ｘ) ＝ ｓｉｎ ｘꎬｘ∈( － ∞ ꎬ０)的一个周 期. ( 　 ) (６)周期为 Ｔ 的奇函数 ｆ(ｘ)ꎬ一定有 ｆ Ｔ２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ０. ( 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组二 走进教材 ２. (必修 １Ｐ８５Ｔ２ 改编)下列函数中为奇函数的序号是 　 　 　 　 ꎻ偶函数的序号是　 　 　 　 . ①ｆ(ｘ) ＝ ２ｘ４ ＋ ３ｘ２ꎻ ②ｆ(ｘ) ＝ ｘ３ － ２ｘꎻ ③ｆ(ｘ) ＝ ｘ ２ ＋ １ ｘ ꎻ ④ｆ(ｘ) ＝ ｘ ３ ＋ １ꎻ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋