第2章 第2讲 函数的单词性与最值-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 由于 ｜ ｘ ＋ １ ｜ ＋ ｜ ｘ － ２ ｜≥ ｜ (ｘ ＋ １) － (ｘ － ２) ｜ ＝ ３ꎬ 所以函数值域为[３ꎬ ＋ ∞ ). 解法二:数形结合法 ｙ ＝ － ２ｘ ＋ １(ｘ < － １)ꎬ ３( － １≤ｘ≤２)ꎬ ２ｘ － １(ｘ > ２). ì î í ïï ï 画出 此 分 段 函 数 的 图 象 如 图ꎬ 可 知 值 域 为 [３ꎬ ＋ ∞ ). 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 求函数值域的一般方法 (１)分离常数法:形如 ｙ ＝ ｃｘ ＋ ｄａｘ ＋ ｂ( ａ≠０)的函数ꎻ如例 ７(１). (２)反解法:形如 ｙ ＝ ｃｆ(ｘ) ＋ ｄａｆ(ｘ) ＋ ｂ(ａ≠０ꎬｆ(ｘ)值域易求) 的函数ꎻ如例 ７(１). (３)配方法:形如 ｙ ＝ ａｆ ２( ｘ) ＋ ｂｆ( ｘ) ＋ ｃ( ａ≠０)的函 数ꎻ如例 ７(２). (４)不等式法ꎻ如例 ７(３). (５)单调性法:通过研究函数单调性ꎬ求出最值ꎬ进而 确定值域ꎻ如例 ７(４). (６)换元法:形如 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ ± ｃｘ ＋ ｄ (ｃ≠０)的函数ꎻ 如例７(４)ꎻ形如 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ ± ｃ２ － ｘ２ ( ｃ≠０)的函 数采用三角换元ꎬ如例 ７(５). (７)数形结合法:借助函数图象确定函数的值域ꎬ如例 ７(６). (８)导数法ꎻ如例 ７(３). 〔变式训练 ４〕 　 求下列函数的值域: (１)ｙ ＝ ２ ｘ － １ ２ｘ ＋ １ ꎻ (２)ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｘ ＋ １ ２ｘ ꎬｘ∈[１ꎬ２)ꎻ (３)ｙ ＝ ｘ ＋ ４ １ － ｘꎻ (４)ｙ ＝ ｘ ２ － ｘ ＋ ２ ｘ － １ (ｘ > １) . 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[７] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二讲　 函数的单调性与最值 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 函数的单调性 １.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地ꎬ设函数 ｆ(ｘ)的定义域为 Ｉꎬ如果对于 定义域 Ｉ 内某个区间 Ｄ 上的任意两个自变量 的值 ｘ１ꎬｘ２ 当 ｘ１ < ｘ２ 时ꎬ 都有 　 　 　 　 ꎬ那么就说 函数 ｆ(ｘ) 在区间 Ｄ 上是增函数 当 ｘ１ < ｘ２ 时ꎬ 都 有 　 　 　 　 ꎬ那么就说 函数ｆ(ｘ)在区间 Ｄ 上 是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 　 　 　 　 自左向右看图象是 　 　 　 　 　 　 ２.单调区间的定义 如果函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间 Ｄ 上是 　 　 　 　 　 　 ꎬ 那么就说函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在这一区间具有(严格的)单调 性ꎬ　 　 　 　 叫做函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的单调区间. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０２７ 衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 　 　 知识点二　 函数的最值 前提 设函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域为 Ｉꎬ如果存在实数 Ｍ 满足 条件 (１)对于任意 ｘ∈ Ｉꎬ 都有　 　 　 　 ꎻ (２ ) 存在 ｘ０ ∈ Ｉꎬ 使 得　 　 　 　 (１) 对于任意 ｘ∈ Ｉꎬ 都有　 　 　 　 ꎻ (２ ) 存在 ｘ０ ∈ Ｉꎬ 使 得　 　 　 　 结论 Ｍ 为最大值 Ｍ 为最小值 归 纳 拓 展 １. 复合函数的单调性 函数 ｙ ＝ ｆ(ｕ)ꎬｕ ＝ φ(ｘ)ꎬ在函数 ｙ ＝ ｆ[φ(ｘ)]的定义 域上ꎬ如果 ｙ ＝ ｆ(ｕ)ꎬｕ ＝ φ(ｘ)的单调性相同ꎬ则 ｙ ＝ ｆ[φ(ｘ)]单调递增ꎻ如果 ｙ ＝ ｆ(ｕ)ꎬｕ ＝ φ(ｘ)的单调性 相反ꎬ则 ｙ ＝ ｆ[φ(ｘ)]单调递减. ２. 单调性定义的等价形式 设任意 ｘ１ꎬｘ２∈[ａꎬｂ]ꎬｘ１≠ｘ２ . (１) 若 有 ( ｘ１ － ｘ２ ) [ ｆ ( ｘ１ ) － ｆ ( ｘ２ )] > ０ 或 ｆ(ｘ１) － ｆ(ｘ２) ｘ１ － ｘ２ > ０ꎬ则 ｆ ( ｘ) 在闭区间 [ ａꎬ ｂ] 上是增 函数. (２) 若 有 ( ｘ１ － ｘ２ ) [ ｆ ( ｘ１ ) － ｆ ( ｘ２ )] < ０ 或 ｆ(ｘ１) － ｆ(ｘ２) ｘ１ － ｘ２ < ０ꎬ则