第2章 第1讲 函数的概念及其表示-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 第二章　 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第一讲　 函数的概念及其表示 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 函数的概念及其表示 １.函数的概念 函数 两个集合 ＡꎬＢ 设 ＡꎬＢ 是两个　 　 　 　 对应关系 ｆ:Ａ→Ｂ 如果按照某种确定的对应关系 ｆꎬ 使对于集合 Ａ 中的　 　 　 一个数 ｘꎬ在集合 Ｂ 中都有　 　 　 　 的数 ｆ(ｘ)和它对应 名称 称 ｆ:Ａ→Ｂ 为从集合 Ａ 到集合 Ｂ 的一个函数 记法 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬｘ∈Ａ 　 　 ２.函数的定义域、值域 (１)在函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬｘ∈Ａ 中ꎬｘ 叫做自变量ꎬｘ 的 取值范围 Ａ 叫做函数的　 　 　 　 ꎻ与 ｘ 的值相对应的 ｙ 值叫做函数值ꎬ函数值的集合{ ｆ(ｘ) ｜ ｘ∈Ａ}叫做函数的 　 　 　 　 . (２)如果两个函数的定义域相同ꎬ并且　 　 　 　 　 完全一致ꎬ则这两个函数为相等函数. ３.函数的表示法 表示函数的常用方法有 　 　 　 　 、图象法和列 表法. 　 　 知识点二　 分段函数 １. 若函数在其定义域的不同子集上ꎬ因对应关系 不同而分别用几个不同的式子来表示ꎬ这种函数称为 分段函数. 分段函数表示的是一个函数. ２. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并 集ꎬ其值域等于各段函数的值域的　 　 　 　 . 　 　 知识点三　 函数的定义域 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域 １.求定义域的步骤 (１)写出使函数式有意义的不等式(组)ꎻ (２)解不等式(组)ꎻ (３)写出函数定义域. (注意用区间或集合的形式 写出) ２.求函数定义域的主要依据 (１)整式函数的定义域为 Ｒ. (２)分式函数中分母　 　 　 　 . (３)偶次根式函数被开方式　 　 　 　 　 . (４)一次函数、二次函数的定义域均为　 　 　 　 . (５)函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ０ 的定义域为　 　 　 　 . (６)指数函数的定义域为　 　 　 　 . (７)对数函数的定义域为　 　 　 　 . 知识点四　 函数的值域 基本初等函数的值域: １. ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ(ｋ≠０)的值域是　 　 　 　 . ２. ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ≠０)的值域是:当 ａ > ０ 时ꎬ值 域为　 　 　 　 ꎻ当 ａ < ０ 时ꎬ值域为　 　 　 　 . ３. ｙ ＝ ｋｘ (ｋ≠０)的值域是　 　 　 　 . ４. ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)的值域是　 　 　 　 . ５. ｙ ＝ ｌｏｇａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)的值域是　 　 　 　 . [延伸] 　 ６. ｙ ＝ ｘ ＋ ａｘ ( ａ > ０)的值域为( － ∞ ꎬ － ２ ａ )∪ (２ ａꎬ ＋ ∞ ) . ７. ｙ ＝ ｘ － ａｘ (ａ > ０)的值域为( － ∞ ꎬ ＋ ∞ ) . ８. ｙ ＝ ｃｘ ＋ ｄａｘ ＋ ｂ ( ａ ≠ ０ꎬ ａｄ － ｂｃ ≠ ０ ) 的 值 域 为 － ∞ ꎬ ｃａ æ è ç ö ø ÷∪ ｃａ ꎬ ＋ ∞ æ è ç ö ø ÷. 归 纳 拓 展 １. 判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对 应关系完全一致. ２. 分段函数虽由几个部分组成ꎬ但它表示的是一个 函数. ３. 与 ｘ 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 １ 个 交点. ４. 定义域是一个集合ꎬ要用集合或区间表示ꎬ若用区间 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０２２ 高考一轮总复习·数学 表示ꎬ不能用“或” 连接ꎬ而应该用并集符号 “∪” 连接. ５. 函数 ｆ(ｘ)与 ｆ(ｘ ＋ ａ)(ａ 为常数 ａ≠０)的值域相同. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)ｙ ＝ ｌｎ ｘ２ 与 ｙ ＝ ２ｌｎ ｘ 表示同一函数. ( 　 ) (２)ｙ ＝ ｌｎ ｘ３ 与 ｙ ＝ ３ｌｎ ｘ 表示同一函数. ( 　 ) (３)函数 ｆ(ｘ)的图象与直线 ｘ ＝ １ 的交