第1章 第6讲 基本不等式-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 足 (ｍ － １)ｆ(１) < ０ꎬ (ｍ － １)ｆ(２) < ０ꎬ{ 即 (ｍ － １)(２ｍ ＋ １) < ０ꎬ (ｍ － １)ｍ < ０ꎬ{ 解得:０ < ｍ < １ꎬ∴ ｍ 的 取值范围为{ｍ ｜ ０ <ｍ < １}. (４)一根大于 － １ꎬ另一根小于 － １ꎬ 应满足(ｍ － １) ｆ( － １) < ０ꎬ即(ｍ － １)( － ２ｍ － ３) < ０ꎬ 解得:ｍ < － ３２ 或 ｍ > １ꎬ ∴ ｍ 的取值范围为 ｍ ｍ < － ３２ 或 ｍ > １{ }. (５)两根都在( －１ꎬ３)内ꎬ应满足 Δ≥０ꎬ －１ < －ｍ ＋１ｍ －１ <３ꎬ (ｍ －１)ｆ( －１) >０ꎬ (ｍ －１)ｆ(３) >０ꎬ ì î í ï ï ï ï ïï 解得: － ３２ <ｍ < ３ １４ꎬ ∴ ｍ 的取值范围为 ｍ － ３２ <ｍ < ３ １４{ }. (６)两根都大于 ０ꎬ应满足 Δ≥０ꎬ － ｍ ＋ １ｍ － １ > ０ꎬ (ｍ － １)ｆ(０) > ０ꎬ ì î í ï ï ï ï 解得:０ < ｍ < １ꎬ∴ ｍ 的取值范 围为{ｍ ｜ ０ <ｍ < １}. (７)两根都小于 １ꎬ应满足: Δ≥０ꎬ － ｍ ＋ １ｍ － １ < １ꎬ (ｍ － １)ｆ(１) > ０ꎬ ì î í ï ï ï ï 解得:ｍ > １ 或 ｍ < － １２ ꎬ ∴ ｍ 的取值范围为 ｍ ｍ > １ 或 ｍ < － １２{ }. (８)在(１ꎬ２)内有解应满足 Δ≥０ꎬ １ < － ｍ ＋ １ｍ － １ < ２ꎬ (ｍ － １)ｆ(１) > ０ꎬ (ｍ － １)ｆ(２) > ０ꎬ ì î í ï ï ï ï ïï 或 ｆ(１)ｆ(２)≤０ꎬ解得 － １２ ≤ｍ≤０ꎬ 经检验 ｍ ＝ － １２ 及 ｍ ＝ ０ 都不合题意舍去ꎬ 解得: － １２ <ｍ < ０ꎬ ∴ ｍ 的取值范围为 ｍ － １２ <ｍ < ０{ }. 〔变式训练 ４〕 　 已知关于 ｘ 的二次方程 ｘ２ ＋ ２ｍｘ ＋ ２ｍ ＋ １ ＝ ０. (１)若方程有两根ꎬ其中一根在区间( － １ꎬ０)内ꎬ另 一根在区间(１ꎬ２)内ꎬ求 ｍ 的范围ꎻ (２)若方程两根均在区间(０ꎬ１)内ꎬ求 ｍ 的范围. 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[５] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六讲　 基本不等式 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 重要不等式 ａ２ ＋ ｂ２≥　 　 　 　 (ａꎬｂ∈Ｒ)(当且仅当　 　 　 　 时等号成立) . 知识点二 　 基本不等式 ａｂ ≤ａ ＋ ｂ２ (均值定 理) (１)基本不等式成立的条件:　 　 　 　 ꎻ (２)等号成立的条件:当且仅当 　 　 　 　 时等号 成立ꎻ (３)其中ａ ＋ ｂ２ 叫做正数 ａꎬｂ 的　 　 　 　 　 　 ꎬ ａｂ 叫做正数 ａꎬｂ 的　 　 　 　 　 　 . 知识点三 　 利用基本不等式求最大、最小值 问题 (１)如果 ｘꎬｙ∈(０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ且 ｘｙ ＝ Ｐ(定值)ꎬ 那么当　 　 　 　 时ꎬｘ ＋ ｙ 有最小值 ２ Ｐ . (简记: “积定和最小”) (２)如果 ｘꎬｙ∈(０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ且 ｘ ＋ ｙ ＝ Ｓ(定值)ꎬ 那么当 ｘ ＝ ｙ 时ꎬｘｙ 有最大值Ｓ ２ ４ . (简记:“和定积 最大”) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 ０１８ 高考一轮总复习·数学 归 纳 拓 展 　 常用的几个重要不等式 (１)ａ ＋ ｂ≥２ ａｂ (ａ > ０ꎬｂ > ０) . (当且仅当 ａ ＝ ｂ 时 取等号) (２)ａｂ≤ ａ ＋ ｂ２ æ è ç ö ø ÷ ２ (ａꎬｂ∈Ｒ) . (当且仅当 ａ ＝ ｂ 时取等 号) (３) ａ ＋ ｂ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≤ａ ２ ＋ ｂ２ ２ (ａꎬｂ∈Ｒ) . (当且仅当 ａ ＝ ｂ 时 取等号) (４) ｂａ ＋ ａ ｂ ≥２(ａꎬｂ 同号) . (当且仅当 ａ ＝ ｂ 时取等 号) . (５) ２１ ａ ＋ １ ｂ ≤ ａｂ≤ａ ＋ ｂ２ ≤ ａ２ ＋ ｂ２ ２ (