第1章 第5讲 一元二次不等式及其解法-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学 第五讲　 一元二次不等式及其解法 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 一元二次不等式的解法 (１)将不等式的右边化为零ꎬ左边化为二次项系 数　 　 　 　 零的不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０(ａ > ０)或 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０(ａ > ０) . (２)计算相应的　 　 　 　 . (３) 当 　 　 　 　 时ꎬ求出相应的一元二次方程 的根. (４)利用二次函数的图象与 ｘ 轴的　 　 　 　 确定 一元二次不等式的解集. 知识点二　 三个二次之间的关系 判别式 Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ Δ > ０ Δ ＝ ０ Δ < ０ 二次函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ (ａ > ０)的图象 一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ (ａ > ０)的根 有　 　 　 　 实 根 ｘ１ꎬｘ２ (ｘ１ < ｘ２) 有　 　 　 实根 ｘ１ ＝ ｘ２ ＝ － ｂ ２ａ 　 　 　 　 实数根 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０ (ａ > ０)的解集 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０ (ａ > ０)的解集 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 归 纳 拓 展 １. ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０(ａ≠０)恒成立的充要条件是:ａ > ０ 且 ｂ２ － ４ａｃ < ０(ｘ∈Ｒ) . ２. ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０(ａ≠０)恒成立的充要条件是:ａ < ０ 且 ｂ２ － ４ａｃ < ０(ｘ∈Ｒ) . 注意:在题目中没有指明不等式为二次不等式时ꎬ若 二次项系数中含有参数ꎬ应先对二次项系数为 ０ 的 情况进行分析ꎬ检验此时是否符合条件. ３. 二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根. ４. 简单分式不等式的解法 (１) ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) > ０( < ０)⇔ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) > ０( < ０)ꎻ (２) ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)≥０(≤０)⇔ ｆ(ｘ)􀅰ｇ(ｘ)≥０(≤０)ꎬ ｇ(ｘ)≠０.{ ５. 简单的指数与对数不等式的解法 (１)若 ａ > １ꎬａｆ(ｘ) > ａｇ(ｘ)⇔ｆ(ｘ) > ｇ(ｘ)ꎻ 若 ０ < ａ < １ꎬａｆ(ｘ) > ａｇ(ｘ)⇔ｆ(ｘ) < ｇ(ｘ) . (２)若 ａ > １ꎬｌｏｇａ ｆ(ｘ) > ｌｏｇａ ｇ(ｘ)⇔ｆ(ｘ) > ｇ(ｘ) > ０ꎻ 若 ０ < ａ < １ꎬｌｏｇａ ｆ(ｘ) > ｌｏｇａ ｇ(ｘ)⇔０ < ｆ(ｘ) < ｇ(ｘ) . 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (１)不等式(ｘ ＋ １)(２ － ｘ) < ０ 的解集为( － １ꎬ２) . ( 　 ) (２)若不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０ 的解集为(ｘ１ꎬｘ２)ꎬ则 ａ < ０. ( 　 ) (３)若方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠０)没有实数根ꎬ则不 等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０ 的解集为 Ｒ. ( 　 ) (４)关于 ｘ 的不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ≤０(ａ≠０)在 Ｒ 上 恒成立的条件是 ａ < ０ 且 Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ≤０. ( 　 ) (５)ｘ － １ｘ － ２≥０⇔(ｘ － １)(ｘ － ２)≥０. ( 　 ) 题组二　 走进教材 ２. (必修 １Ｐ５３Ｔ１ 改编)不等式(ｘ － １) ２ < ｘ ＋ ５ 的解集是 ( 　 ) Ａ. {ｘ ｜ １ < ｘ < ４} Ｂ. {ｘ ｜ － １ < ｘ < ４} Ｃ. {ｘ ｜ － ４ < ｘ < １} Ｄ. {ｘ ｜ － １ < ｘ < ３} ３. (必修 １Ｐ５５Ｔ３ 改编)已知集合 Ａ ＝ {ｘ ｜ ｘ２ － ｘ － ６ > ０}ꎬ 则 ∁ＲＡ 等于 ( 　 ) Ａ. {ｘ ｜ － ２ < ｘ < ３} Ｂ. {ｘ ｜ － ２≤ｘ≤３} Ｃ. {ｘ ｜ ｘ < － ２}∪{ｘ ｜ ｘ > ３} Ｄ. {ｘ ｜ ｘ≤ －２}∪{ｘ ｜ ｘ≥３} ４. (必修 １Ｐ５５Ｔ２ 改编)若关于 ｘ 的不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ２ > ０ 的解集为 ｘ － １２ < ｘ < １ ３{ }ꎬ则 ａ ＋ ｂ ＝ 　 　 　 　 . 题组三　 走向高考 ５. (２０１９􀅰天津高考)设 ｘ∈Ｒꎬ使不等式 ３ｘ２ ＋ ｘ － ２ < ０ 成立的 ｘ 的取值范围是　 　 　 　 . ６. (２０２２􀅰上海卷)不等式ｘ － １ｘ < ０ 的解集为　 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋