第1章 第2讲 充分条件与必要条件-【衡中学案】2024年新高考数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新教材 名师讲坛􀅰素养提升 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＪＩＡＮＧ ＴＡＮ ＳＵ ＹＡＮＧ ＴＩ ＳＨＥＮＧ 集合中的新定义问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 例 ５ (多选题)(２０２２􀅰安徽省舒城中学模拟 预测)定义 Ａ － Ｂ ＝ { ｘ ｜ ｘ∈Ａ 且 ｘ∉Ｂ}ꎬＡ∗Ｂ ＝ (Ａ － Ｂ)∪(Ｂ － Ａ)叫做集合的对称差ꎬ若集合 Ａ ＝ {ｙ ｜ ｙ ＝ ｘ ＋ ２ꎬ － １≤ｘ≤３}ꎬＢ ＝ ｙ ｙ ＝ ２ｘ ꎬ １ ５ ≤ｘ≤１}{ ꎬ则以下说 法正确的是 ( ＡＢＤ ) Ａ. Ｂ ＝ [２ꎬ１０] Ｂ. Ａ － Ｂ ＝ [１ꎬ２) Ｃ. Ａ∗Ｂ ＝ (１ꎬ２]∪(５ꎬ１０] Ｄ. Ａ∗Ｂ ＝ Ｂ∗Ａ [解析] 　 因为 Ａ ＝ {ｙ ｜ ｙ ＝ ｘ ＋ ２ꎬ － １≤ｘ≤３} ＝ [１ꎬ ５]ꎬＢ ＝ ｙ ｙ ＝ ２ｘ ꎬ １ ５ ≤ｘ≤１}{ ＝ [２ꎬ１０]ꎬ故 Ａ 正确ꎻ因 为定义 Ａ － Ｂ ＝ {ｘ ｜ ｘ∈Ａ 且 ｘ∉Ｂ}ꎬ所以 Ａ － Ｂ ＝ [１ꎬ２)ꎬ Ｂ － Ａ ＝ (５ꎬ１０]ꎬ故 Ｂ 正确ꎻ由 Ａ∗Ｂ ＝ (Ａ － Ｂ)∪(Ｂ － Ａ) ＝ [１ꎬ２)∪(５ꎬ１０]ꎬ故 Ｃ 错误ꎻ由 Ｂ∗Ａ ＝ (Ｂ － Ａ)∪ (Ａ － Ｂ) ＝ [１ꎬ２)∪(５ꎬ１０]ꎬ所以 Ａ∗Ｂ ＝ Ｂ∗Ａꎬ故 Ｄ 正 确. 故选 ＡＢＤ. 名师点拨 　 ＭＩＮＧ ＳＨＩ ＤＩＡＮ ＢＯ 集合新定义问题的“３ 定” (１)定元素:确定已知集合中所含的元素ꎬ利用列举法 写出所有元素. (２)定运算:根据要求及新定义运算ꎬ将所求解集合的 运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本 运算问题ꎬ或转化为数的有关运算问题. (３)定结果:根据定义的运算进行求解ꎬ利用列举法或 描述法写出所求集合中的所有元素. 〔变式训练 ３〕 　 定义集合的商集运算为 ＡＢ ＝ ｘ ｘ ＝ ｍ ｎ ꎬｍ∈Ａꎬｎ∈Ｂ 　 　 }{ ꎬ 已知集合 Ａ ＝ {２ꎬ４ꎬ６}ꎬＢ ＝ ｘ ｘ ＝ ｋ２ － １ꎬｋ∈Ａ}{ ꎬ则 集合 Ｂ Ａ æ è ç ö ø ÷∪Ｂ 中的元素个数为 ( 　 ) Ａ. ６ Ｂ. ７ Ｃ. ８ Ｄ. ９ 温馨提示:复习至此ꎬ请完成练案[１] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二讲　 充分条件与必要条件 知识梳理􀅰双基自测 ＺＨＩ ＳＨＩ ＳＨＵ ＬＩ ＳＨＵＡＮＧ ＪＩ ＺＩ ＣＥ 知 识 梳 理 　 　 知识点 　 充分条件、必要条件与充要条件的 概念 若 ｐ⇒ｑꎬ则 ｐ 是 ｑ 的　 　 　 条件ꎬｑ 是 ｐ 的　 　 　 条件 ｐ 是 ｑ 的　 　 　 　 　 　 条件 ｐ⇒ｑ 且 ｑ ｐ ｐ 是 ｑ 的　 　 　 　 　 　 条件 ｐ ｑ 且 ｑ⇒ｐ ｐ 是 ｑ 的　 　 　 条件 ｐ⇔ｑ ｐ 是 ｑ 的　 　 　 　 　 　 　 　 条件 ｐ ｑ 且 ｑ ｐ 归 纳 拓 展 １. 若 Ａ ＝ {ｘ ｜ ｐ(ｘ)}ꎬＢ ＝ {ｘ ｜ ｑ(ｘ)}ꎬ则 (１)若 Ａ⊆Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充分条件ꎻ (２)若 Ａ⊇Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的必要条件ꎻ (３)若 Ａ ＝ Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充要条件ꎻ (４)若 Ａ⫋Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充分不必要条件ꎻ (５)若 Ａ⫌Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的必要不充分条件ꎻ (６)若 Ａ⊈Ｂ 且 Ａ⊉Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的既不充分也不必要 条件. ２. 充分条件与必要条件的两个特征: (１)对称性:若 ｐ 是 ｑ 的充分条件ꎬ则 ｑ 是 ｐ 的必要 条件ꎬ即“ｐ⇒ｑ”⇔“ｑ⇐ｐ” . (２)传递性:若 ｐ 是 ｑ 的充分(必要)条件ꎬｑ 是 ｒ 的 充分(必要)条件ꎬ则 ｐ 是 ｒ 的充分(必要)条件ꎬ即“ｐ ⇒ｑ 且 ｑ⇒ｒ”⇒“ｐ⇒ｒ”(“ｐ⇐ｑ 且 ｑ⇐ｒ”⇒“ｐ⇐ｒ”) . 注意:不能将“若 ｐꎬ则 ｑ”与“ｐ⇒ｑ”混为一谈ꎬ只有“若 ｐꎬ则 ｑ”为真命题时ꎬ才有“ ｐ⇒ｑ”ꎬ即“ ｐ⇒ｑ”⇔“若 ｐꎬ 则 ｑ”为真命题. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一　 走出误区 １. 判断下列结论是否正确 (请在括号内打 “√” 或 “ × ”) (１)ｐ 是 ｑ 的充分不必要条件等价于 ｑ 是 ｐ 的必要不 充分条件. ( 　 ) (２)已知集合 ＡꎬＢꎬ则 Ａ∪Ｂ⊆Ａ∩Ｂ 的充要条件是 Ａ ＝ Ｂ. ( 　 ) (３)若已知 ｐ:ｘ >