1.2.2圆的一般方程课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2 圆的一般方程 掌握圆的一般方程的含义、各个字母的含义，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。 掌握圆的一般方程与标准方程的互化方法，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次。 掌握圆的一般方程表示圆的充分条件，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次。 温故知新 圆的标准方程 点与圆的位置关系 圆的基本性质 圆心：（a,b） 半径：r （1）点在圆内：d＜r （2）点在圆上：d=r （3）点在圆外:d＞r （1）点在圆内： （2）点在圆上： （3）点在圆外: 以x2+y2=r为例 范围 ：|x|≤r,|y|≤r 圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形 环节一 圆的一般方程 思考1：如果我们将圆的标准方程拆开完全平方公式会得到什么？ 1、圆的一般方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 思考2：上面的是几元几次方程？ 关于x、y的二元二次方程 思考3：如果我想简化上面的式子，怎么简化比较方便呢？ 如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程X2+y2+Dx+Ey+F=0 思考4：如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，我们怎么用DEF三个值表示出圆的圆心和半径呢？ 1、圆的一般方程 思考5：能不能说方程X2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢？ 圆心为（-，-），半径为 半径＞0 D2+E2-4F>0 圆的一般方程：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F>0） 1、圆的一般方程 思考7：观察X2+y2+Dx+Ey+F=0，它有什么特点呢？ 圆心为（-，-），半径为 ① 思考6：那不满足＞0这个条件呢？ 当D2+E2-4F=0时 当D2+E2-4F＜0时 不构成图形 为一个点（-，-）； 例 1 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 . 解析：－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是（2，－3） 解析：方程表示圆⇔1＋1－4k＞0⇔k＜ 方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为 . 例2 已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径. [自主解答] 方法一　设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圆上， ∴∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即（x－1）2＋（y＋1）2＝25. ∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5. 例 3 例 4 求经过点A（－2，－4）和点B（8，6）且圆心在直线3x－y－18＝0上的圆的方程. 解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为（－，－）. ∵圆心在直线3x－y－18＝0上，∴E－3D－36＝0.① ∵（－2，－4），（8，6）在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0，② 8D＋6E＋F＋100＝0.③ 联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30， 故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0. 例 5 已知M（－2，0），N（2，0），求以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程。 [思路点拨]直角边垂直⇒斜率相乘等于－1⇒转化为方程⇒检验. [自主解答] 设P（x，y），由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1，即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4（x≠±2）. 例 6 已知圆O：x2＋y2＝4，A，B是圆上两点，点P（1，2）且PA⊥PB，求线段AB中点R的轨迹方程 解析：如图所示，R（x，y）是线段AB的中点，则OR⊥AB， 因为PA⊥PB，于是｜PR｜＝｜AB｜＝｜RB｜， ｜OB｜＝2，｜OR｜＝，｜RB｜＝｜RP｜＝， 由勾股定理得22＝x2＋y2＋（x－1）2＋（y－2）2， 整理得R（x，y）的轨迹方程是（x－）2＋（y－1）2＝. 例7 如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？ P M A x o y θ 圆的一般方程 构成圆的条件 圆的一般特点 （1）当D2+E2-4F＞0 表示圆 （2）当D2+E2-4F=0 表示一点（-，-） （3）当D2+E2-4F＜0 不构成图形 x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F>0） 圆心为（-，-），半径为 ① $$