第09讲 立体几何中的最值、范围问题-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第09讲　立体几何中的最值、范围问题 【专题点睛】 立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值(上节)或(面积)体积的最值的问题.其一般方法有： (1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2)代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值. 1、把正方形沿对角线折起,当以,,,四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成角的大小为( ) A. B. C. D. 2、已知边长为的正方体,为中点,为平面上的动点,若,则三棱锥的体积最小值为( )        A. B. C. D. 3、圆柱的轴截面是边长为的正方形,则圆柱侧面上从到的最短路径长为( ) A. B. C. D. 4、在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P－ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[1,3] C．[－1,2] D．[1，＋1] 5、如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为BD1，BB1上的动点，则△C1PQ周长的最小值为(　　) A. B. C. D. 6、已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，若满足条件的E点有两个时，则a的取值范围是________. 1．(多选)如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中正确的是(　　) A．∠A′DB的大小不会发生变化 B．二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化 C．三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大 D．A′B与DE所成的角先变大后变小 2、（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式】（2023·上海·高二专题练习）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（      ） A． B． C． D．2 3、在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________． 【变式1】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．线段最小值为 D．的取值范围为 4、（2023春·云南·高三校联考开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，点P满足．则点P的轨迹方程为____________；在三棱锥中，平面，且，该三棱锥体积的最大值为______________． 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知正方体中，为内一点，且，设直线与所成的角为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线平面，垂足是，正四面体的棱长为4，点在平面上运动，点在直线上运动，则点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为__________. 1、（2023·全国·高三专题练习）在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2、（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知正方体的棱长均为为线段的中点,,其中,则下列选项正确的是（    ） A．当时, B．当时,的最小值为 C．若直线与平面所成角为,则点的轨迹长度为 D．当时,正方体被平面截的图形最大面积为 1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为(　　) A. B．1 C．2 D. 2、已知正四面体D－ABC，点E，F分别为棱CD，AC的中点，点M为线段EF上的动点