第07讲 球的内切、外接问题-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第07讲 球的内切、外接问题 【专题点睛】球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心． 一、外接球的问题： 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键． （1） 由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法． 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． 二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 （一）正方体的的内切球 设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形的内切圆，得；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。 （二）棱锥的内切球（分割法） 将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. 1、 （多选）下列结论正确的是 A 长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R. B 所有的直棱柱都有内切球 C设正四面体的的棱长为，则正四面体外接球半径为 D球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心 2、（2023·河北邯郸期中）正方体的体积为8，则正方体的外接球的半径为（    ） A．2 B． C．3 D．4 3、（2023·山东青岛二中期中）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 4、已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B．60 C． D． 5、已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ） A． B． C． D． 1、（1）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球和内切球的半径之比为_______. （2）(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 2、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（    ） A．4 B． C． D． 【变式2】（2023·河北联考期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，