湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2023-2024学年高二上学期开学验收考试数学试题

2023秋高二上九月开学验收考试数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设，是两个不共线的向量，且与共线，则实数(    ) A. B. C. D. 2. 若，则三个数称之为勾股数，从，，，中任取两个，能和组成勾股数的概率是(    ) A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是、、，那么至少有一人解决这道题的概率是(    ) A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，且，则与的夹角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 5. 若、为一对对立事件，其概率分别为，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则(    ) A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，，，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：其中与算同一种方法，在大于且不超过的偶数中，随机选取两个不同的偶数，则两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列条件中，使点与，，三点一定共面的是(    ) A. B. C. D. 10. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 如果 ，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 11. 如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，下列运算结果，正确的有(    ) A. B. C. D. 12. 下列命题正确的是(    ) A. 已知，是两个不共线的向量若，，则，，共面 B. 若向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 若，，则与向量共线的单位向量为 D. 在三棱锥中，若侧棱，，两两垂直，则底面是锐角三角形 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知一个样本容量为的样本的平均数为，方差为，现在样本中加入一个新数据，则此时方差是          ． 14. 已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为          用表示 15. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出到之间取整数值的随机数，指定，，，，表示命中，，，，，表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经随机模拟产生了组随机数：                                                                   据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为          ． 16. 如图所示，在正四棱柱中，，，动点分别在线段、上，则线段长度的最小值是          ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 本小题分 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，． Ⅰ试用，，表示出向量； Ⅱ求与所成的角的余弦值． 18. 本小题分 的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．   求；   若，，求的周长． 19. 本小题分 分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束． 求 时，该局比赛结束的概率； 求事件 “且甲获胜” 的概率． 20. 本小题分 已知向量，． 若，求实数； 若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 21. 本小题分 某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如图所示． 求直方图中的值，并估计复赛选手年龄的平均值同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数； 根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第百分位数； 决赛由名专业评审、名媒体评审和名大众评审分别打分，打分均采用分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手