29 专题集训五 与切线有关的辅助线的作法-【夺冠百分百】2023-2024学年九年级全一册数学新导学课时练配套课件PPT（冀教版）

山东鑫聚仁数字制作中心 第二十九章　直线与圆的位置关系 专题集训五　与切线有关的辅助线的作法 解题指导 证明一条直线是圆的切线常用的辅助线作法 1.若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连接过此点的半径，再证其与直线垂直. 2.若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型一　切线的判定：有切点⇒连接圆心与切点，证垂直 1.(2022阜新中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC.求证：CD是☉O的切线. 证明：如图，连接OD. ∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC. ∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO. ∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. ∴∠ADC＋∠BDO＝90°. ∴∠ODC＝180°－(∠ADC＋∠BDO)＝90°. 又∵OD是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.如图，AB是☉O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB. (1)求证：BC是☉O的切线. 证明：连接OB，如图， ∵OP⊥OA， ∴∠AOP＝90°. ∴∠A＋∠APO＝90°. ∵CP＝CB， ∴∠CBP＝∠CPB. ∵∠CPB＝∠APO， ∴∠APO＝∠CBP. ∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA. ∴∠OBC＝∠CBP＋∠OBA＝∠APO＋∠A＝90°. ∴OB⊥BC. 又∵OB是☉O的半径， ∴BC是☉O的切线. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)若☉O的半径为3，OP＝1，求BC的长. (2)解：设BC＝x，则PC＝x， 在Rt△OBC中，OB＝3，OC＝CP＋OP＝x＋1， 根据勾股定理，得OB2＋BC2＝OC2， ∴32＋x2＝(x＋1)2，解得x＝4， 即BC的长为4. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型二　切线的判定：无切点⇒过圆心作垂直，证等半径 3.如图，点O是∠BAC的平分线AD上一点，以O为圆心的圆与AB相切于点M.求证：AC与☉O相切. 证明：如图，连接OM，过点O作OE⊥AC，垂足为E. ∵以点O为圆心的圆与AB相切于点M， ∴OM⊥AB. ∵点O在∠BAC的平分线上， ∴∠MAO＝∠EAO. ∵OM⊥AB，OE⊥AC， ∴∠AMO＝∠AEO＝90°. ∵AO＝AO， ∴△AMO≌△AEO(AAS)， ∴OM＝OE＝☉O半径.∴AC与☉O相切. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BC.以△ABC的中位线为直径作半圆O，试确定BC与半圆O的位置关系，并证明你的结论. 解：BC与半圆O的位置关系为相切.证明如下： 如图，过圆心O作OG⊥BC于点G， ∵EF为△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝BC. 设EF与AD交于点H， 则FH是△ADC的中位线， ∴H为AD的中点. ∴DH＝AD＝BC. ∵OG⊥BC，HD⊥BC，EF∥BC， ∴OG＝DH， ∴OG＝BC＝EF. ∵圆的半径为EF， ∴BC与半圆O的位置关系为相切. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 5.(2022保定定州二模)如图，已知，在△ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以点O为圆心，OB长为半径作☉O，☉O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO，交☉O于点E，连接BD，BE. (1)求证：AC是☉O的切线. (1)证明：如图，过点O作OF⊥AC于点F， ∵☉O与BC相切， ∴OB⊥BC， ∴∠CBO＝90°. 又∵CO平分∠ACB， ∴OB＝OF. ∵OB为☉O的半径， ∴AC是☉O的切线. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)若tan∠BDE＝2，BC＝6，求☉O的半径. (2)解：∵DE是☉O的直径， ∴∠DBE＝90°， ∴∠DBO＋∠OBE＝90°. 又∵∠CBD＋∠OBD＝90°， ∴∠CBD＝∠OBE. 又∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠CBD＝∠OEB.又∵∠BCD＝∠ECB， ∴△CBD∽△CEB，∴＝＝. ∵tan∠BDE＝＝2，BC＝6， ∴CD＝3，CE＝12，∴DE＝9， ∴☉O的半径为. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型三　切线性质：已知切线⇒连接圆心与切点，得垂直 6.如图，AB是☉O的直径，点P在BA的延长线上，过P作☉O的切线PC，切点为C，连接BC，若☉O的半径为6，PC＝BC，则线段PC的长为(　C　) A.3 B.6 C.6 D.12 7.(2022泰州中考)如图，PA与☉O相切于点A，PO与☉O相交于点B，点C在上，且与点A，B不重合.若∠P＝26°，则∠C的度数为 　32　⁠°.