2.1.1 等式的性质与方程的解集 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.1.1等式的性质与方程的解集 高中数学必修第一册 葫芦岛市第一高级中学 数学组 1、掌握等式的性质及常用的恒等式． 2、会用因式分解解一元二次方程． 我们一起来牢记本节课的学习目标吧！！ 1.等式的性质   性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立. 如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c. 性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立. 如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc. 一、性质与恒等式 2.恒等式 含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.恒等式是进行代数变形的依据之一. (1)平方差公式、两数和(差)的平方公式. a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式) (a+b)2=a2+2ab+b2(两数和的平方公式) (a-b)2=a2-2ab+b2(两数差的平方公式) 二、方程的解集 (1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值. (2)一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 求方程x2-3x+2=0的解集. 解 ∵x2-3x+2=0,∴(x-1)(x-2)=0, ∴x=1或x=2,∴方程的解集为{1,2}. 题型1　因式分解 例1　把下列各式因式分解： (1)6x2＋11x－7； (2)x＋5－6y(x＞0，y＞0)；  (3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2. 利用十字相乘法因式分解 【解析】　(1)由图，得   所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)． (2)(＋6)()； (3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)． 对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2， 并且把a1，a2，c1，c2排列如图： ，按斜线交叉相乘，再相 加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行． 　把下列各式分解因式： (1)x2－3x＋2＝___________； (2)x2＋37x＋36＝___________； (3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝______________； (4)4m2－12m＋9＝___________． (1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)； (2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)； (3)(a－b)2＋11(a－b)＋28 ＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7] ＝(a－b＋4)(a－b＋7)； (4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2. (x－1)(x－2) (x＋1)(x＋36) (a－b＋4)(a－b＋7) (2m－3)2 题型2　一元一次方程的解集 例2　求下列方程的解集： (1)4－3(10－y)＝5y； (2)＝－1. 把方程化成ax＝b的形式，求x＝. (1)去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4. 合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13. 所以该方程的解集为{－13}． (2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6. 去括号，得4x－2＝2x＋1－6. 移项，得4x－2x＝1－6＋2. 合并同类项，得2x＝－3. 系数化为1，得x＝－.所以该方程的解集为. 解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号． 如果方程－8＝－的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值． 解析：解方程－8＝－， 去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)， 去括号，得2x－8－48＝－3x－6， 移项、合并同类项，得5x＝50， 系数化为1，得x＝10. 把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1， 得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4. 当a＝－4时，a－＝－4－＝－. 题型3　因式分解法解一元二次方程 例3　求方程x2－5x＋6＝0的解集． 【解析】　因为x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为(x－2)(x－3)＝0， 从而可知x－2＝0或x－3＝0，即x＝2或x＝3，因此方程的解集为{2，3}． 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解． 用因式分解法求下列方程的解集： (1)x＝x； (