1.2.1必要条件与充分条件 课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 2.1 必要条件与充分条件（一） 第2节 常用逻辑用语 可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。 初中知识回顾 一般形式：“若则,”、 “如果,那么(则)”、“” 其中是命题的条件，是命题的结论. 什么叫命题？ 如：平面上两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等。 前提 条件 结论 下列“若p,则q”命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 思考 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （2）若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等； （3）若则 （4）若平面内两条直线垂直于直线,则//. 在命题（2）（3）中由条件p不能推出结论q，所以它们是假命题. 如果“若，则”是真命题，就说由推出，记作 如果“若则”是假命题，就说由推不出，记作 在命题（1）（4）中由条件p可以推出结论q，所以它们是真命题； 3 思考讨论： 定理1：菱形的对角线互相垂直. 定理2：对顶角相等. 定理3：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等. ①将定理1、2改成“若，则”的形式。 ②请问“对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必有的条件吗？ 一、必要条件与性质定理 定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直. 定理2：如果两个角是对顶角，那么它们相等. “对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必不可少的条件。 如果对角线不垂直，那么肯定不是菱形。 1、必要条件 一般地，当命题“若，则”是真命题时，称是的必要条件. 注，则是的必要条件，一旦不成立，则肯定不成立. 知识点1：必要条件 (2)前后，“后”是“前”的必要条件，或“前”的必要条件是“后”。 例1：将下列性质定理写成“若，则”的形式，并用必要条件的语言表述： (1)平面四边形的外角和为； (2)在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等. 解：(1)若平面多边形是四边形，则它的外角和为， “外角和为”是“平面多边形是四边形”的必要条件； (2)在平面直角坐标系中，若两个点关于轴对称，则两个点的横坐标相等， “两个点的横坐标相等”是“两个点关于轴对称”的必要条件. 练习 2.判断下列命题是否是真命题, 并用必要条件语言表述. (1)如果集合，那么 (2)若实数，那么| 解： (1)“”， 所以“”是“”的必要条件. (2)“”， 所以“”是“”的必要条件， 如果，肯定. 二、充分条件与判定定理 定理4：若，则. 定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理6：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得三角形与原三角形相似. 以上定理，要得到结论，所给的条件充分吗？又是不是必要的呢？ 提示：都是充分的，定理5，是必要的， 其它不是 一般地，当命题“若，则”是真命题时，称是的充分条件. 注意，是充分条件. ， 成立. (2) ：是充分条件,也可以说充分条件是. (3)前后：“前”是“后”的充分条件，“后”是“前”的必要条件。 知识点2：充分条件 例2：用充分条件的语言表述下列命题： (1)若，则； (2)若点是线段的中点，则； (3)当，一元二次方程有两个不相等的实数根. 练习 解：(1)““”的充分条件； (2)“点是线段的中点”是“”的充分条件； (3)“”是“一元二次方程有两个不相等的实数根”的充分条件. (4)，，请判断是的 条件； (5)：，：，则的 的条件是. 提示：(1)由，但，所以是的充分条件的，但不是必要条件； (2)：：，但：：，所以是的必要条件，但不是充分条件 充分不必要 必要不充分 练习： 教材P15，练习1、2. 教材P16，练习1、2. 教材P22，习题1—2： A组第1题 作业： 2.1 必要条件与充分条件（二） 什么是逆命题？ 原命题：若，则， 是条件， 是结论. 逆命题：若，则， 是条件， 是结论. 将原命题中条件与结论互换，可得到其逆命题. 1.如果，那么 逆：如果，那么 写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假. 2.如果两个三角形全等， 逆：如果三角形的面积相等，则这两个三角形全等. 假 真 真 假 3.一个三角形的外角等于两个内角和. 假 假 原命题和逆命题的真假无必然联系。 逆：三角形一个角是两个内角的和,这个角是外角 思考讨论： 勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等 于第三边的平方.那么这个三角形是直角三角形. 根据上面两个定理，条件“三角形是直角三角形”是 结论“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件？ 三、充要条件 由原定理：“