第三章 微专题一 证明不等式-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

©勾·讲与练·高三数学 点M在线段AD上，并且与曲线CE相切：另【对点训练5】如图，某街道拟设立一占地面积 一排为单人弧形椅沿曲线CV(宽度不计) 为a平方米的健身场所，场地形状为矩形.健 摆放.已知双人靠背直排椅的造价每米为 身场所周围通道设计规格要求为：长边外通 2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐 道宽5米，短边外通道宽8米，健身场所长边 角∠NBE=0,总造价为W元. 不小于20米，至多长28米 ①试将W表示为0的函数W(0),并写出 5米 cos0的取值范围： ②问当AM的长为多少时，能使总造价W 最小 5米 (1)设健身场所长边为x米，健身场所及周 听课记录 围通道的总占地面积为S平方米，试建立S 关于x的函数关系式，并指明定义域： (2)当300≤a≤700时，试求S的最小值， 并指出取到最小值时x的取值， 078 规律总结【 函数的优化问愿即实标问题中的最值问题，其 一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量：二列， 温馨提示0 列出函数关系式，并写出定义域：三解，解出函数的 学习至此，请完成课时作业17 最值，一般常用导数求解：四答，回答实际何题， 微专题 证明不等式 命题角度1构造函数证明不等式 ②设g(x)=f(x),讨论函数g(x)在 【典例1】(1)(2021·全国乙卷)设a= [0,+c∞)上的单调性： 21n1.01,b=1n1.02,c=√1.04-1.则 ③证明：对任意的s,t∈(0，+∞)，有f(s+ t)>f(s)+f(t). A.a<b<c B.b<c<a 听课记录 C.b<a<c D.c<a<b (2)(2022·北京卷)已知函数f(x)=eln(1+x). ①求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线 方程： 第三章一元函数的导数及其应用 进 规律总结▲ 若直接求导此较复杂或无从下手时，可将待证 式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中 间量，达到证明的目的.本例中同时含lnx与e,不 能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算 4规律总结 它们的最值，借助最值进行证明. (1)证明f(x)>g(x),可以构造函数h(x) 【对点训练2】已知函数f(x)=alnx十x. f(x)一g(x),然后利用h(x)的最值证明不等式. (2)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待 (1)讨论f(x)的单调性： 证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传 (2)当a=1时，证明：xf(x)<e. 递的中间量，达到证明的目的. 【对点训练1】已知函数g(x)=x3+a.x, (1)若函数g(x)在[1,3]上为单调函数，求 a的取值范围； (2)已知a>-1x>0,求证：g(x)>xlnx 079 命题角度3“放缩法”证明不等式 【典例3】已知函数f(x)=me-lnx一1. (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1， f(1)处的切线方程； 命题角度2转化为两个函数的最值证明不等式 (2)当m≥1时，证明：f(x)>1. 【典例2】已知函数f(x)=ex一xlnx.求证： 听课记录 当x>0时，f(x)<xe+。 听课记录 ©勾·讲与练·高三数学 4规律总结 (2)证明：f(x)>2g(x)一1. 导数方法证明不等式中，最常见的是e和lnx 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑 先对e和lnx进行放缩，使问题筒化，简化后再构 建函数进行证明.常见的放缩公式如下：(1)c≥1十 x,当且仅当x=0时取等号，(2)lnx≤x一1，当且 仅当x=1时取等号 【对点训练3】已知函数fx)=xlnt x+m g(x) -名，且曲线y=∫：)在x=1处的切线方 温馨提示0 程为x-2y十n=0. 学习至此，请完成课时作业18 (1)求m,n的值： 微专题 恒成立、能成立问题 命题角度1 恒成立问题 【对点训练1】(2020·全国I卷)已知函数 【典例1】(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x) f(x)=e+ax:-I. 080 =rer-e'. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当：≥0时f)≥2+1，求a的取 (2)当x>0时，f(x)<-1,求a的取值 范围. 值范围。 听课记录 ‘规律总结▲ 利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主 命题角度2能成立问题 要兼略：①构造函数，利用导数求出最值，进而求出 【典例2】(1)(2023·江西萍乡开学考试)已知 参数的取值范围：②分离变量，构造函数，直接把问 题转化为函数的最值问题.有些不易分参的也可采 定义在R上的函数f(x),对任意x1x2∈ 用“同构”技巧 R,当x1≠，时，都有）-fx)>0. x1一x2参 考 答 案 2 16ax ·10x +a