第三章 微专题四 隐零点与极值点偏移-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

商勾·讲与练·高三数学 微专题 四 隐零点与极值点偏移 命题角度1隐零点问题 恒成立，求整数a的最大值（参考数据： 【典例1】(1)证明不等式e一a.x>lnx ax(a∈R)恒成立 n3<专n4>) (2)已知函数f(x)=e一x一2，当x>0时， (x一k)f'(x)+x十1>0恒成立，求整数 k的最大值. 吧听课记录 084 (2)已知fr)=n+a,g(x)=e+2-1. 若g(x)≥f(x)恒成立，求实数a的取值 范围. ‘规律总结人 隐零点问题常用策略： (1)依据函数式的结构特征和函数单调性，大胆 “试根”，再由单调性说明“此根”的唯一性： (2)先“虚设零点，设而不求”，通过形式化的“变 量代换”或推理，达到化简并求解的目的： (3)“多次求导”，合理变形，直至能够求解 【对点训练1)()已知函数fr)=x'+lnx -2+》a≠0.令Fx)=af) x2,若F(x)<1-2a.x在x∈(1，十o∞)上 第三章一元函数的导数及其应用 命题角度2极值点偏移问题 【对点训练2】(1)已知函数f(x)=ae一x, 【典例2】(2021·新高考I卷)已知函数 a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1,x f(x)=x(1-In x). 证明：x1+x>2. (1)讨论f(x)的单调性： (2)设a,b为两个不相等的正数，且bna alhb=a-6,证明2<+分<e 吧听课记录 (2)(2022·天津南开中学二模)设函数f(x)= (x-1)Inx-x+(m-1)x:m E R,g(x) 为f(x)的导函数 ①求g(x)的单调区间： 085 4规律总结 ②讨论g(x)零点的个数： 极值点偏移问题的常用策略：首先进行变量的 ③若f(x)有两个极值点x1,x,且x1< 转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系 x2,证明：x1十xg>2. 式，或者通过比值代换（令1=），利用关系式将 其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不 等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导 数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应 用到所证不等式，除了上述方法外，也常通过构造关 联（对称）函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数 F(x)=f(xn-x)-f(x。十x):②对F(x)求导， 判断F'(x)的符号，确定F(x)的单调性：③结合 F(0)=0,得到f(1n-x)>f(x。十x)(或f(ra x)<f(x。+x):④由f(x1)=f(x)=f(x。 (xa-rg)>(或<)f(x。+(xa-xa)=f(2xo x2)得f(x1)>(或<)f(2x。一x:):⑤结合f(x) 的单调性，得x1>(或<)2x。一x,得x1十x:> (或<)2x·其中也可考虑构造F(x)=f(x)一 温馨提示0 f(2xu一x)等，具体视已知条件“执果索因" 学习至此，请完成课时作业2引参 考 答 案 f(x)仅在 1 a ,+∞ 上有唯一零点, 符合题意; 当a=1时,f'(x)= (x-1)2 x2 ≥0,所 以f(x)单调递增,又f(1)=a-1= 0,所以f(x)有唯一零点,符合题意; 当a>1时, 1 a <1 ,在 0,1a ,(1, +∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增; 在 1 a ,1 上,f'(x)<0,f(x)单调递 减,此时f(1)=a-1>0, 易证当0<x<1时, ln x>1- 1 x ,ln x >1- 1 x , 所以ln x>21- 1 x , 此时f(x)=ax- 1 x - (a+1)ln x< ax- 1 x -2 (a+1)1- 1 x <- 1x + 2(a+1) x , 存在n= 1 4(a+1)2 < 1 a ,使得f(n)< 0,所以f(x)在 0, 1 a 上有一个零点, 在 1 a ,+∞ 上无零点, 所以f(x)有唯一零点,符合题意. 综上,a的取值范围为(0,+∞). 对点训练2:(1)解:令f(x)=0,得ex = a(x+2),即 1 a = x+2 ex ,所以函数y= 1 a 的图象与函数φ(x)= x+2 ex 的图象 有两个交点, φ'(x)= -x-1 ex , 当x∈ (-∞,-1)时,φ'(x)>0; 当x∈ (-1,+∞)时,φ'(x)<0, 所以φ(x)在(-∞,-1)上单调递增, 在(-1,+∞)上单调递减, 所以φ(x)max=φ(-1)=e,且x→-∞ 时,φ(x)→- ∞;x →+ ∞ 时,φ(x) →0, 所以0< 1 a <e ,解得a> 1 e. 所以a的取值范围是 1e ,+∞ . (2)解:f(x)=ln(1+x)+ ax ex , f'(x)= 1 1+x+ a(1-x) ex = ex +a(1-