第三章 微专题三 利用导数研究函数的零点-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

hh “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解 其实质,深刻挖掘内含条件,进行等价变换,常见的 等价转换有 (1)∀x1,x2∈D,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min> g(x)max. (2)∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2) ⇔f(x)min>g(x)min. (3)∃x1 ∈D1,∀x2 ∈D2,f(x1)>g(x2)⇔ f(x)max >g(x)max. 【对点训练3】 (1)若对 ∀x∈[0,+∞),y∈ [0,+∞),不等式ex+y-2+ex-y-2+2-4ax≥ 0恒成立,则实数a取值范围是 ( ) A.-∞, 1 4 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 B.14 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 C.12 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 D.-∞,12 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 (2)(2023·广东北江实验学校开学考试)已知 函数f(x)=ln x+ a 2x 2-(a+1)x(a∈ R),g(x)=f(x)- a 2x 2+(a+1)x. ① 讨论f(x)的单调性; ② 任取两个正数x1,x2,当x1 <x2 时,求 证:g(x1)-g(x2)< 2(x1-x2) x1+x2 . 学习至此,请完成课时作业19 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 C 三 利用导数研究函数的零点 命题角度1 讨论零点个数 【典例1】 (1)(2023·河南开封市摸底)已知函 数f(x)=ln x+ a x+1- a 2 ,其中a∈R. ① 求函数f(x)的单调区间; ② 讨论函数f(x)零点的个数. (2)(2022· 广 东 深 圳 中 学 模 拟)已 知 函 数 f(x)=ex-ax+sin x-1.当1≤a<2时, 试讨论函数f(x)的零点个数. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数零点个数的讨论问题实质是研究函数图象 的变化趋势,通过变化趋势看是否与x 轴存在公共 点,以此确定零点个数;在利用函数零点存在定理 时,一般不使用极限语言,故常常需要“取点”,可借 助ex ≥x+1,ln x ≤x-1等结构放缩,必要时可 构造函数证明所取点的符号. 【对点训练1】 (1)已知函数f(x)=aln x + 1 2x 2-(a+1)x,当a>0时,求函数f(x) 零点的个数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 082 @第三章 一元函数的导数及其应用 (2)已知函数f(x)=xex +ex. ① 求函数f(x)的单调区间和极值; ②讨论函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零 点的个数. 命题角度2 已知零点个数求参数范围 【典例2】 (2022·全国乙卷节选)已知函数 f(x)=ax- 1 x- (a+1)ln x.若f(x)恰有 一个零点,求实数a的取值范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋