第三章 微专题二 恒成立、能成立问题-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

©勾·讲与练·高三数学 4规律总结 (2)证明：f(x)>2g(x)一1. 导数方法证明不等式中，最常见的是e和lnx 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑 先对e和lnx进行放缩，使问题筒化，简化后再构 建函数进行证明.常见的放缩公式如下：(1)c≥1十 x,当且仅当x=0时取等号，(2)lnx≤x一1，当且 仅当x=1时取等号 【对点训练3】已知函数fx)=xlnt x+m g(x) -名，且曲线y=∫：)在x=1处的切线方 温馨提示0 程为x-2y十n=0. 学习至此，请完成课时作业18 (1)求m,n的值： 微专题 恒成立、能成立问题 命题角度1 恒成立问题 【对点训练1】(2020·全国I卷)已知函数 【典例1】(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x) f(x)=e+ax:-I. 080 =rer-e'. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当：≥0时f)≥2+1，求a的取 (2)当x>0时，f(x)<-1,求a的取值 范围. 值范围。 吧听课记录 ‘规律总结▲ 利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主 命题角度2能成立问题 要兼略：①构造函数，利用导数求出最值，进而求出 【典例2】(1)(2023·江西萍乡开学考试)已知 参数的取值范围：②分离变量，构造函数，直接把问 题转化为函数的最值问题.有些不易分参的也可采 定义在R上的函数f(x),对任意x1x2∈ 用“同构”技巧 R,当x1≠，时，都有）-fx)>0. x1一x2 第三章一元函数的导数及其应用 若存在x∈ 2,使不等式f(c0sx)≥ π ②若存在x∈(0，十∞)，使得f(x) f(a一sinx)成立，则实数a的最大值为 一x2+mx一3成立，求实数m的最小值. 2 (2)(2023·河南洛阳摸底)已知函数f(x) a.x-bx2一9x-1在x=一1处取得极值4. ①求a,b的值； ②若存在x∈[2,4]，使3x-入≥f(x)成 立，求实数入的取值范围. 感听课记录 命题角度3双变量的恒成立、能成立问题 【典例3】(1)(2023·广西玉林摸底)已知m,n 都是正整数，且e十lnn<m十n,则 A.n>e" B.m>e 084 C.n<em D.m>e" (2)(2022·新疆乌鲁木齐二模)已知函数 fx)3x12a2+ax+1a∈R0 4规律总结 ①讨论函数y=f(x)的单调性； 解决恒成立、能成立问题的基本策略：分离变 ②设a<1,若Vx1∈[m,n],3x2∈[m, 量，①构造函数，直接把问题转化为函数的最值间 n].且x1≠x,使得f(x1)=f(x),求n 题.②转化策略：a≥f(.x)恒成立台a≥f(x)mx; m的最大值. a≤f(x)恒成立白a≤f(x)mma≥f(.x)能成立 听课记录 台a≥f(xr)mn:a≤f(x)能成立=a≤f(x)x 【对点训练2】(1)(2022·辽宁大连市103中学 模拟)已知函数fx)=3nr一kx+,若 k>0,3xn∈[1，e],使得fx)+3e<0 成立，则实数k的取值范围为 (2)已知函数f(x)=xlnx(x>0). ①求函数f(x)的极值： ,衡勾·讲与练·高三数学 4规律总结 “双变量”的恒（能）成立问题一定要正确理解 R,gr)=fr)-号+a+1Dx 其实质，深刻挖掘内舍条件，进行等价变换，常见的 ①讨论∫(x)的单调性： 等价转换有 ②任取两个正数x1x,当x1<xz时，求 (1)x1x2∈D,f(x:)>g(x:)=f(.x)n> g(.x）s 证：g(x)-g(x)<2(x1-x) T1十Tg (2)Hx1∈D1,3x:∈D2,f(x1)>g(x:) 白f(.x)mn>g(x)ma… (3)3x1∈D1,x:∈D2f(x1）>g(x:)曰 f(.x)ms>g(x）m 【对点训练3】(1)若对Hx∈[0，+∞)，y∈ [0,+o∞)，不等式e++e2+2-4a.x≥ 0恒成立，则实数a取值范围是 A(∞， c.+) (, 温翼提示0 学习至此，请完成课时作业19 (2)(2023·广东北江实验学校开学考试)已知 082 函数fx)=lnx十受r-a+1z(a∈ 微专题 利用导数研究函数的零点 命题角度1讨论零点个数 4规律总结 【典例1】(1)(2023·河南开封市摸底)已知函 函数零点个数的讨论问题实质是研究函数图象 ,千1一分其中a∈R 数f(x)=lnx+a- 的变化趋势，通过变化趋势看是否与x轴存在公共 点，以此确定零点个数：在利用函数零点存在定理 ①求函数f(x)的单调区间： 时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借 ②讨论函数f(x)零点的个数. 助e≥x十1，lnx≤x一1等结构放缩，必要时可 构造