第七章 微专题九 立体几何中最值、范围问题-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

hh C 九 立体几何中最值、范围问题 命题角度1 最值问题 【典例1】 (1)(2023·湖北二十 一重点中学第二次联考)如 图,空间四面体 ABCD 中, ∠ACD=60°,二面角 A-CD-B 的大小为 45°,在平面ABC内过点B作AC的垂线l,则 l与平面BCD 所成的最大角的正弦值为 . (2)(2022·山东潍坊模拟)如 图,已知长方体ABCD- A1B1C1D1 中,AD =9, AA1=10,过点A 且与直 线CD 平行的平面α将长 方体分成两部分,且分别与棱DD1,CC1 交 于点H,M. ① 若DH =DC=9,则三棱柱ADH-BCM 外接球的表面积为 ; ② 现同时将两个球分别放入被平面α 分成 的两部分几何体内.在平面α 变化过程中, 这两个球半径之和的最大值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大 (小)、角的最值问题,常用的思路是: (1)借助几何特征直观判断:在变化过程中判断 点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小 值,即可求解. (2)借助极限思想,从特殊位置、特殊关系出发 获得最值. (3)函数思想:通过建系或引入变量,把这类动 态问题转化为目标函数,从而利用代数方法求目标 函数的最值,在求解过程中常常利用“基本不等 式”“二次函数”“导数”求得目标函数的最值. 【对点训练1】 (2022·山东 青岛二模)如图,P 为圆 锥的顶点,O 为圆锥底面 的圆心,圆锥的底面直径 AB=4,母线长PH=22,M 是PB的中点, 四边形OBCH 为正方形. (1)设平面POH ∩平面PBC=l,证明:l∥ BC; (2)设D 为OH 的中点,N 是线段CD 上的 一个点,当MN 与平面PAB 所成角最大时, 求MN 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 196 @第七章 立体几何与空间向量 命题角度2 范围问题 【典例2】 (2022·山东潍坊模 拟)如图,正三棱柱ABC- A1B1C1 的所有棱长均为 2,D 为 棱BB1(不 包 括 端 点)上一动点,E 是AB 的 中点. (1)若AD ⊥A1C,求BD 的长; (2)当D 在棱BB1(不包括端点)上运动时, 求平面ADC1 与平面ABC 夹角的余弦值的 取值范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�