第八章 微专题十三 圆锥曲线中的证明及探索性问题-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

@第八章 平面解析几何 C 十三 圆锥曲线中的证明及探索性问题 命题角度1 证明问题 【典例1】 (2022·湖南长沙长郡中学二模)已 知平面内两点F1(- 2,0),F2(2,0),动点 P 满足:|PF1|+|PF2|=23. (1)求动点P 的轨迹C 的方程; (2)设M,N 是轨迹C上的两点,直线MN 与 曲线x2+y2=1(x>0)相切.证明:M,N, F2 三点共线的充要条件是|MN|= 3. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 圆锥曲线中有关证明问题类型以及解题策略: (1)充要条件的证明:首先分清“由谁到谁”是 充分性;“由谁到谁”是必要性,如:命题A 成立的充 要条件是B,即B 是A 成立的充要条件,则由B→A 则是证明的充分性,由A →B 则是证明的必要性. (2)其他涉及长度、面积、斜率、坐标、角度(或是 由以上各量的和差积商等运算后的结果)相等(或不 等),利用相应的公式求得代数式,依据条件对代数 式进行化简、变形即可. 【对点训练1】 (2022·河北秦皇岛三模)已知 抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M 与焦 点F的距离为9,点M 到x轴的距离为4p. (1)求抛物线C 的方程; (2)经过点F的直线与抛物线C交于A,B两 点,E 为直线x=-1上任意一点,证明:直线 EA,EF,EB 的斜率成等差数列. 【对点训练2】 (2022·福建泉州质量检测)已 知椭圆C 的中心在坐标原点,对称轴为坐标 轴,A(- 3,0),B(0,3),D(2,1)中恰有两 点在C 上. (1)求椭圆C 的方程; (2)P,Q 两点在椭圆C 上,且直线DP,DQ 的斜率互为相反数,直线DP,DQ 分别与直 线AB 交 于 M,N 两 点,证 明:|DP |· |DN|=|DQ|·|DM|. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 235 hh 命题角度2 探索性问题 【典例2】 (2022·辽宁沈阳三 模)如图,在平面直角坐标 系中,F1,F2分别为等轴双 曲线Γ:x 2 a2- y2 b2= 1(a>0, b>0)的左、右焦点,若点A 为双曲线右支 上一点,且|AF1|-|AF2|=42,直线AF2 交双曲线于B 点,点D 为线段F1O 的中点, 延长AD,BD,分别与双曲线Γ 交于P,Q 两点. (1)若A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1y2- x2y1=4(y2-y1); (2)若直线AB,PQ的斜率都存在,且依次设 为k1,k2,试判断 k2 k1 是否为定值,如果是,请 求出 k2 k1 的值;如果不是,请说明理出. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋�