9.7 二项分布、超几何分布与正态分布-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

@第九章 概率与统计 9.7 二项分布、超几何分布与正态分布 5A>! 1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 3.借助正态分布曲线了解正态分布的概念、特征,并进行简单应用. AMc
-  -@) 1.二项分布 (1)伯努利试验 只包含 可能结果的试验叫做伯努利 试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次 所组成的随机试验称为 . (2)二项分布 一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中 事件A 发生的概率为p(0<p<1),用X 表 示事件 A 发生的次数,则 X 的分布列为 P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n. 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式, 则称 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布,记 作 . (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ① 若随机变量X 服从两点分布,则E(X)= ,D(X)= . ② 若 X ~B(n,p),则E(X)= , D(X)= . 2.超几何分布 一般地,假设一批产品共有 N 件,其中有 M 件次品.从 N 件产品中随机抽取n 件(不放 回),用X 表示抽取的n件产品中的次品数,则 X 的分布列为P(X =k)= CkMCn-kN-M CnN ,k=m, m +1,m +2,…,r,其中,n,N,M ∈ N*, M ≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r= min{n,M}.如果随机变量X 的分布列具有上 式的形式,那么称随机变量 X 服从超几何 分布. 3.正态分布 (1)定义 若随机变量X 的概率分布密度函数为f(x)= 1 σ 2π ·e - (x-μ) 2 2σ2 ,x ∈R,其中μ∈R,σ>0为 参数,则称随机变量X 服从正态分布,记为 . (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的,它关于直线 对称; ② 曲线在 处到达峰值 1 σ 2π ; ③ 当|x|无限增大时,曲线无限接近x 轴. (3)3σ 原则 ①P(μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7; ②P(μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5; ③P(μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若 X ~ N(μ,σ2),则 E(X)= , D(X)= . 常用结论与知识拓展 1.两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形. 2.“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽 取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 263 hh 布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布 来处理. 3.在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非 常大”等字眼,这表明试验可视为n 重伯努利试验,进 而判定是否服从二项分布. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他 连续射击了20次,是n重伯努利试验. ( ) (2)12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对 答案的题目数X ~B(12,0.25). ( ) (3)抛掷三枚骰子,点数是3的骰子个数记为 X,则X 的概率分布是超几何分布. ( ) (4)X 表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是 3的倍数的次数,则X 服从二项分布;从4名 男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员 的人数X 服从超几何分布. ( ) (5)当μ 一定时,正态曲线的形状由σ确定,σ 越小,曲线越“矮 胖”,表 示 总 体 的 分 布 越 离散. ( ) 2.(教材改编题)将一枚质地均匀的硬币连续抛 掷5次,X 表示“正面朝上”出现的次数,则 E(X)= ;D(X)= . 3.(教材改编题)在15个村庄中有7个村庄交通 不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这 10个村庄中交通不方便的村庄数,若P(X = k)= C47C68 C1015 ,则k= . 4.(教材改编题)设随机变量ξ 服从正态分布 N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(