8.7 抛物线-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

@第八章 平面解析几何 8.7 抛物线 5A>! 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何性质. 2.通过抛物线的学习,进一步体会数形结合的思想. AMc
-  -@) 1.抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F 和一条定直线 l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹 叫做抛物线. 点F叫做抛物线的 ,直 线l叫做抛物线的 . 2.抛物线标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2 =2px (p>0) y2 = -2px (p>0) x2 =2py (p>0) x2 = -2py (p>0) 图形 开口 向左 向上 焦点 -p2 ,0 0,-p2 准线 x = -p2 y = - p 2 简单 几何 性质 范围 x ≥0, y∈R y≤0, x ∈R 对称 轴 x 轴 y 轴 顶点 原点O(0,0) 离心 率 e=1 常用结论与知识拓展 1.抛物线焦点弦的性质 直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛 物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则有: (1)通径的长为2p. (2)焦点弦长:|AB|=x1+x2+p(|AF|=x1+ p 2 ,|BF|=x2+p2 ). (3)x1x2=p 2 4 ,y1y2=-p2. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)若α为弦AB 的倾斜角,则|AF|= p1-cos α , |BF|= p1+cos α ;|AB|= 2p sin2α . (6) 1 |AF|+ 1 |BF|= 2 p ;以AF 或BF 为直径的 圆与y 轴相切. 2.抛物线中的最值 P 为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点,F 为焦 点,则有:|PF|≥p2 ;焦点弦AB 以通径(2p)为最小 值;A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值. 3.抛物线的切线 已知 抛 物 线 C:x2 =2py(p > 0)的 焦 点 为 F p2 ,0 ,经过焦点F 的直线l与抛物线相交于A,B 两点,分别过A,B 作抛物线C 的两条切线l1,l2,l1 ∩ l2=P.则有:(1)l1 ⊥l2;(2)P 在定直线x=-p2 上; (3)PF ⊥AB. 4.抛物线中的焦点三角形 如右图,过抛物线y2=2px(p >0) 的焦点F p2 ,0 的直线l:y=kx-kp2(其 中k为直线l的斜率)交抛物线于A,B 两 点,那么焦点三角形OAB 的面积可以表 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 225 hh 示为S△OAB =p 2 2 1+ 1 k2 (若 抛 物 线 方 程 为 x2 = 2py(p > 0),直 线l:y =kx + p2 ,则 S△OAB = p2 2 1+k 2). -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距 离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象就 是抛物线. ( ) (3)方程y=2px2(p>0)表示的曲线是焦点 在x 轴上的抛物线. ( ) (4)抛物线y=2px2(p >0)的准线方程为 x=-p2. ( ) (5)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线 与抛物线相切或相交. ( ) 2.(教材改编题)抛物线x2=2py(p>0)上一 点P 到焦点的距离为aa>p2 ,则点P 到准 线的 距 离 是 ;点 P 的 纵 坐 标 是 . 3.(教材改编题)已知抛物线C 与双曲线x2- y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物 线C 的方程是 . 4.(教材改编题)到定点A(a,0)的距离与到定 直线x=-a 的距离相等的点的轨迹方程是 . 5.(多选题)(教材改编题)已知点P(-1,22) 在抛物线C:y2=2px(p<0)上,抛物线C的 焦点为F,延长PF与C相交于另一点Q,O为 坐标原点,则下列命题正确的是 ( ) A.直线PQ 的斜率为 24 B.点F 的坐