8.6 双曲线-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

hh 8.6 双曲线 5A>! 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质. 2.通过双曲线的学习,进一步体会数形结合的思想. AMc
-  -@) 1.双曲线的定义 (1)定义:一般地,我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的 等于非零常数(小 于 )的点的轨迹叫做双曲线,这两个 定点叫做双曲线的 ,两焦点间的距 离叫做双曲线的 . (2)等轴双曲线: 等长的双曲线叫等 轴双曲线,它的渐近线方程为 ,离心 率为e= . 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x2 a2 - y2 b2 = 1 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 图形 焦点 F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c a,b,c 的关系 简单几 何性质 范围 x ≥a 或x ≤-a y≤-a 或y≥a 对称性 对称轴为坐标轴,对称中心为原点 顶点 (-a,0),(a,0) 轴长 实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|= 渐近线 y = y = 离心率 e= ,且e∈ 常用结论与知识拓展 1.与双曲线定义及标准方程相关结论 (1)在双曲线定义中,当2a=|F1F2|时,点的轨 迹为以F1,F2为端点的两条射线;当2a>|F1F2|时, 轨迹不存在. (2)在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离 时,求该点到另一个焦点的距离时,不能简单套用 “||PF1|-|PF2||=2a”求解,要先判断该点在双曲 线的“哪一支”上,然后进行下一步运算. (3)已知双曲线的标准方程,只要令双曲线的标准 方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程. (4)双曲线与椭圆的标准方程可统一为 Ax2 + By2=1的形式,当A>0,B>0,A≠B 时为椭圆,当 A·B <0时为双曲线. (5)直线与双曲线只有一个公共点时,不一定相 切,如当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线 相交,此时该公共点为“交点”,而不是相切;而当直线 与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个公共点,此时 该公共点为“切点”,因此,当直线与双曲线只有一个公 共点时,要注意两种情况的可能性. (6)与双曲线x 2 a2- y2 b2= 1(a>0,b>0)有共同渐 近线的双曲线系方程为x 2 a2 - y2 b2 = λ(λ≠0). 2.与双曲线几何性质相关结论 (1)离心率e= c a= 1+ b a 2 ,离心率越大,双曲 线“张口”越大、越开阔. (2)焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 220 @第八章 平面解析几何 (3)通径长为2b 2 a . (4)P 为双曲线上一点,则|OP|≥a,|PF1|≥ c-a,△PF1F2 的 面 积 为 S = b2 · sin θ 1-cos θ = b2 tanθ2 (θ= ∠F1PF2). -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小 于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线. ( ) (2)方程y 2 m- x2 n =1 (mn>0)表示焦点在y轴 上的双曲线. ( ) (3)双曲线x 2 m2- y2 n2= 1(m>0,n>0)的渐近 线方程是x m ± y n =0. ( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等 于 2. ( ) (5)设P 是双曲线x 2 16- y2 20=1 上一点,F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9, 则|PF2|=17. ( ) 2.(教材改编题)点(3,0)到双曲线x 2 16- y2 9=1 的一条渐近线的距离为 . 3.(教材改编题) 双曲线x2-15y2=a(a>0) 与椭圆x 2 25+ y2 9 =1 的焦点相同,则实数a= . 4.(教材改编题)已知双曲线C:x 2 a2- y2 b2= 1(a> 0,