7.5 空间向量与立体几何-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

@第七章 立体几何与空间向量 7.5 空间向量与立体几何 5A>! 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断 向量的共线和垂直. 3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简 单定理. AMc
-  -@) 1.空间向量及其有关概念 名称 定义 共线(平行) 向量 如果表示若干空间向量的有向线段所 在的直线 或 ,那么 这些向量叫做共线向量或 共面向量 同一个平面的向量,叫做共面 向量 共线向 量定理 对于任意两个空间向量a,b(b ≠0), a ∥b 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数λ, 使 共面向 量定理 如果两个向量a,b ,则向量p 与向 量a,b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 的 有 序 实 数 对 (x,y),使 p= 空间向量 基本定理 如果三个向量a,b,c ,那么对 任意一个空间向量p,存在唯一的有序 实数组 ,使得p=xa+yb+zc 2.空间向量及其运算的坐标表示 (1)空间向量运算的坐标表示:设a=(a1,a2, a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b= , a-b= , λa= ,λ∈R, a·b= . (2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的 坐标表示:设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔ (λ∈R); a⊥b⇔a·b=0⇔ ; |a|= a·a= ; cos<a,b>= a·b |a||b|= . (3)空间向量的坐标及两点间的距离公式:设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2 → = ,|P1P2|= . 3.用空间向量研究直线、平面的位置关系 位置关系 向量表示 直线l1,l2 的方向向 量分别为n1,n2 l1 ∥l2 n1 ∥n2⇒n1=λn2 l1 ⊥l2 n1 ⊥n2⇔n1·n2=0 直线l 的方向向量 为n,平面α 的法向 量为m l∥α n⊥m⇔m·n=0 l⊥α n∥m⇔n=λm 平面α,β 的法向量 分别为n,m α∥β n∥m⇔n=λm α⊥β n⊥m⇔n·m=0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 187 hh -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)空间中任意三个不共面的向量都可以作 为基底. ( ) (2)直线的方向向量是唯一确定的. ( ) (3)若直线a的方向向量和平面α的法向量平 行,则a∥α. ( ) (4)在空间直角坐标系中,在Oyz平面上的点 的坐标一定是(0,b,c). ( ) (5)若a·b<0,则<a,b>是钝角. ( ) 2.(教材改编题)如图,在斜 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, M 为 BC 的 中 点,N 为 A1C1靠近A1的三等分点, 设AB→=a,AC → =b,AA1 → = c,则用a,b,c表示NM→为 . 3.(教材改编题)已知a=(1,-2,λ),b=(-1, 2,-1),若<a,b>为钝角,则实数λ 的取值范 围为 . 4.(教 材 改 编 题)如图,线段 AB,BD 在平面α 内,BD ⊥ AB,AC ⊥α,且 AB =a, BD=b,AC =c,则C,D 两点间的距离为 . 5.(多选题)(教材改编题)下面四个结论正确 的是 ( ) A.空间向量a,b(a≠0,b≠0),若a⊥b,则 a·b=0 B.若对空间中任意一点O,有OP→= 1 6OA → + 1 3OB → + 1 2OC →,则P,A,B,C 四点共面 C.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m = a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底 D.任意向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋