3.3 导数与函数的极值、最值-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

@第三章 一元函数的导数及其应用 2" 1.判断函数f(x)= (1-x2)ex -1 x (x >0)的 单调性. 2.当x >0时,比较sin x 与x- x3 6 的大小. 学习至此,请完成课时作业16 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3.3 导数与函数的极值、最值 5A>! 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值,体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. AMc
-  -@) 1.函数的极值 (1)函数极值的定义:如图,函数y=f(x)在 点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近 其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)> 0.类似地,函数y=f(x)在点x=b的函数值 f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都 大,f'(b)=0;而且在点x =b 附近的左侧 f'(x)>0,右侧f'(x)<0.我们把a叫做函 数y=f(x)的 ,f(a)叫做函数y= f(x)的 ;b 叫做函数y=f(x)的 ,f(b)叫做函数y=f(x)的 .极小值点、极大值点统称为 , 极小值和极大值统称为 . (2)函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件:一般地,函数y=f(x)在某一点的导数 值为0是函数y=f(x)在这点取得极值的 .可导函数y=f(x)在x=x0处取 极大(小)值的充分条件: ① ; ②在x=x0附近的左侧f'(x0)>0(<0),右 侧f'(x0)<0(>0). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 073 hh (3)导数求极值的方法:解方程f'(x)=0,当 f'(x0)=0 时,如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是 ;如果在x0附近的左侧f'(x)<0, 右侧f'(x)>0,那么f(x0)是 . " 对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函 数f(x)在x=x0 处有极值”的必要不充分条件. 2.函数的最大(小)值 (1)函数最大(小)值的再认识 ① 一般地,如果在区间[a,b]上函数y = f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值. ② 若函数y=f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数在[a,b]上的 ,f(b)为 函数 在[a,b]上 的 ;若 函 数 y = f(x)在[a,b]上 ,则f(a)为函数在 [a,b]上的最大值,f(b)为函数在[a,b]上的 最小值. (2)导数求最值的一般步骤:设函数y=f(x) 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求函数y= f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 如下: ① 求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大 值,最小的一个是最小值. 3.三次函数的图象、单调性、极值 设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠ 0),则f'(x)=3ax2+2bx+c,记Δ=4b2- 12ac=4(b2 -3ac),并 设 x1,x2 是 方 程 f'(x)=0的根,且x1<x2. (1)a>0 Δ>0 Δ≤0 图象 续表 Δ>0 Δ≤0 单调性 在 (- ∞,x1),(x2, +∞)上单调递增;在 (x1,x2)上单调递减 在R上是增函数 极值点 个数 (2)a<0 Δ>0 Δ≤0 图象 单调性 在(x1,x2)上 单 调 递 增;在(-∞,x1),(x2, +∞)上单调递减 在R上是减函数 极值点 个数 -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)函数的极小值一定比极大值小. ( ) (2)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0 为函数的一个极值点. ( ) (3)函数的极值反映的是函数在定义域内某 一点附近的“局部”性质,而函数的最值则反 映的是函数在定义域内的“整体”性质. ( ) (4)函数f