3.2 导数与函数的单调性-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

hh 3.2 导数与函数的单调性 5A>! 结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函 数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. AMc
-  -@) 1.函数的单调性与导数的关系 一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x) 的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a, b)上,如果 ,那么函数y= f(x)在 区间(a,b)上单调递增;如果 ,那么 函数y= f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2.利用导数判断函数f(x)单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划 分为若干个区间,列表给出f'(x)在各个区 间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义 域内的单调性. 常用结论与知识拓展 1.在某区间内,f'(x)>0(f'(x)<0)是函数 f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件.可 导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是 对 ∀x ∈ (a,b),都有 f'(x)≥0(f'(x)≤0)且 f'(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零. 2.构造函数解抽象不等式 (1)对于不等式f'(x)>k(k ≠0),构造函数 g(x)=f(x)-kx+b. (2)对于不等式xf'(x)+f(x)>0,构造函数 g(x)=xf(x);对于不等式xf'(x)-f(x)>0,构造 函数g(x)=f (x) x (x ≠0). (3)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0,构造函数 g(x)=xnf(x);对于不等式xf'(x)-nf(x)>0,构 造函数g(x)=f (x) xn (x ≠0). (4)对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数 g(x)=exf(x);对于不等式f'(x)-f(x)>0,构造 函数g(x)=f (x) ex . (5)对于不等式f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或 f(x)+f'(x)tan x>0),构造函数g(x)=f(x)sin x; 对于不等式f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或f'(x)- f(x)tan x >0),构造函数g(x)=f(x)cos x. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递减,则一 定有f'(x)<0. ( ) (2)若函数f(x)在某一范围内导数的绝对值 越大,那么函数在这个范围内变换得就越快, 此时函数的图象就会更“陡峭”(向上或向下). ( ) (3)在(a,b)内,f'(x)≥0且f'(x)不恒为 零,则f(x)在(a,b)上为增函数. ( ) (4)若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区 间,则当x ∈ (a,b)时,f'(x)<0有解. ( ) (5)若 函 数 f(x)=x3 -ax +2在 区 间 (1,+∞)内是增函数,则实数a 的取值范围 是(-∞,3). ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 068 @第三章 一元函数的导数及其应用 2.(教材改编题)函数f(x)=4x-ln x 的单调 递减区间为 . 3.如图是y=f'(x)的图象,则 函数y=f(x)的单调递减区 间是 ( ) A.(-2,1) B.(-2,0),(2,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1),(1,+∞) 4.(教材改编题)若函数f(x)=ln x+ax2-5x 在区间 1 3 ,1 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 内单调递增,则实数a 的取值 范围为 . 5.(多选题)(教材改编题)设函数f(x)= ex ln x , 则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)的定义域是(0,+∞) B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x 轴下方 C.f(x)存在单调递增区间 D.f(x)有两个单调区间 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋