3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

第三章 一元函数的导数及其应用 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 5A>! 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于 瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想. 2.体会极限思想. 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y= 1 x ,y= x 的导数. 5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函 数(限于形如f(ax+b))的导数. 6.会使用导数公式表. AMc
-  -@) 1.导数的概念及其意义 (1)导数的概念:如果当Δx→0时,平均变化 率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值,即Δy Δx 有极 限,则称y=f(x)在x=x0处 ,并把 这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导 数(也称为 ),记作 或 y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0 Δy Δx= lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx . (2)导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0 处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在 点P(x0,f(x0))处的 .也就是 说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切 线的斜率是 .相应的切线方程为 . (3)导函数的概念:当x=x0时,f'(x0)是一 个唯一确定的数,这样,当x 变化时,y = f'(x)就是x 的函数,我们称它为y=f(x) 的 (简称 ).y=f(x)的导 函数 有 时 也 记 作 y',即 f'(x)=y' = lim Δx→0 f(x+Δx)-f(x) Δx . 2.导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)= f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f'(x)= f(x)=sin x f'(x)= f(x)=cos x f'(x)= f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 064 @第三章 一元函数的导数及其应用 续表 原函数 导函数 f(x)=ex f'(x)= f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= (2)导数的四则运算法则 运算法则 和差 [f(x)±g(x)]'= 积 [f(x)g(x)]'= , 特别地,[cf(x)]'= 商 f(x) g(x) 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 '= (g(x)≠0) (3)简单复合函数的导数 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x) 的复合函数,记作y= .它的导数与 函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 .即y对x的导数 等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 常用结论与知识拓展 1.导数的两条性质 (1)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇 函数. (2)可导函数y=f(x)的导数为f'(x),若f'(x) 为增函数,则f(x)的图象是下凹的;反之,若f'(x)为 减函数,则f(x)的图象是上凸的. 2.区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅 有一条. (2)过点处的切线,该点不一定是切点,切线至少 有一条. 3.几类重要的切线方程 (1)y=x-1是曲线y=ln x 的切线,y=x 是曲 线y=ln(x +1)的切线,…,y=x +n 是曲线y= ln(x+n+1)的切线,如图1. 图1 图2 (2)y=x+1与y=ex 是曲线y=ex 的切线,如图2. (3)y=x 是曲线y=sin x 与y=tan x 的切线,如 图3. 图3 图4 (4)y=x-1是曲线y=x2-x,y=xln x 及y=1- 1 x 的切线,如图4. 由以上切线方程可得重要不等式,如ln x ≤x-1, x+1≤ex 等. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误