2.9 函数模型的应用-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

@第二章 函数的概念与基本初等函数 2.9 函数模型的应用 5A>! 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的 函数模型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理 解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义. AMc
-  -@) 1.六种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx +c(a,b,c 为常数, a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且 a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a> 0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0, n≠0) “对勾”函 数模型 y=x+ a x (a为常数,a>0) 2.三种函数模型性质比较 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 相对平稳 图象的变化 随x值增大, 图象与 接近平行 随x值增大, 图象与 接近平行 随n 值 变 化 而不同 3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 常用结论与知识拓展 1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变; “指数增长”是先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数 爆炸”来形容;“对数增长”是先快后慢,其增长速度缓慢. 2.函数f(x)=x+ a x (a>0)的性质及最值: (1)该函数在(-∞,- a)和(a,+∞)上单调 递增,在[- a,0)和(0,a]上单调递减. (2)当x >0时,x= a 时取最小值2a, 当x <0时,x=- a 时取最大值-2a. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加 10% 出售,后因库存积压降价,若按九折出 售,则每件还能获利. ( ) (2)函数y=2x 的函数值比y=x2 的函数 值大. ( ) (3)不存在x,使ax <xa <logax. ( ) (4)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx + c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的 形象比喻. ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 059 hh (5)在(0,+∞)上,随着x 的增大,y=ax(a >1)的增长速度会超过并远远大于y=xa (a>0)的增长速度. ( ) 2.(教材改编题)下表是在弹性限度内,弹簧伸 长长度x(单位:cm)与拉力F(单位:N)的相 关数据: x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F 1 2 3 4 5 写出能反映这一变化现象的函数为 . 3.(教材改编题)用清水洗衣服,若每次能洗去 污垢的3 4 ,要使存留的污垢不超过1%,则至 少要洗的次数是(参考数据:lg 2≈0.301 0) . 4.(教材改编题)某单位为鼓励职工节约用水, 作出以下规定:每位职工每月用水不超过 10 m3 的,按每立方米 m 元收费;用水超过 10 m3 的,超过部分加倍收费.某职工某月缴 水费16m 元,则该职工这个月实际用水为 m3. 5.(多选题)如图,某池塘里浮萍的 面积y(单位:m2)与时间t(单 位:月)的关系为y=at.下列说 法中正确的是 ( ) A.浮萍每月的增长率为1 B.第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2 C.浮萍每月增加的面积都相等 D.若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时 间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@