2.4 二次函数与幂函数-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

hh 2.4 二次函数与幂函数 5A>! 1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= 1 x ,y= 1 x2 的图象,了解他们的变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系简单解决问题. AMc
-  -@) 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 叫做幂函数,其中x 是 自变量,α 是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y=x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x-1 图象 性 质 定 义 域 R R R 值 域 R R 奇 偶 性 函数 函数 函数 函数 函数 单 调 性 在 R 上 单 调递增 在 上 单 调 递 减;在 上 单 调递增 在 R 上 单 调递增 在 上 单 调 递增 在 上 单 调 递减 公 共 点 (3)幂函数y=xα 的性质 ① 幂函数在(0,+∞)上都有定义. ② 当α>0时,幂函数的图象都过点 和 ,且在(0,+∞)上单调递增. ③ 当α<0时,幂函数的图象都过点 ,且在(0,+∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx +c(a>0) f(x)=ax2+bx +c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 -∞,- b 2a 􀭤􀭥 􀪁􀪁 上 单 调 递 减;在􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 - b2a , +∞ 上单调递增 在 -∞,- b 2a 􀭤􀭥 􀪁􀪁 上 单 调 递 增;在􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 - b2a , +∞ 上单调递减 对称性 函数的图象关于直线 对称 常用结论与知识拓展 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向 和对称轴及给定区间的范围有关. 2.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一 定不会出现在第四象限. (2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图 象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 040 @第二章 函数的概念与基本初等函数 (3)若幂函数y=xα 在(0,+∞)上单调递增,则 α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)y=2x 1 2 是幂函数. ( ) (2)当n>0时,幂函数y=xn 在(0,+∞)上 是增函数. ( ) (3)二次函数y=ax2+bx+c,不可能是偶 函数. ( ) (4)根据二次函数的两个零点就可以确定函 数的解析式. ( ) (5)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的 最值是4ac-b 2 4a . ( ) 2.(教材改编题)已知函数f(x)=ax2+x+5 的图 象 在 x 轴 上 方,则a 的 取 值 范 围 是 . 3.(教材改编题)已知幂函数f(x)=kxα 的图象 过点 1 2 ,2 2 ,则k+α= . 4.(教材改编题)已知幂函数f(x)=xa(a∈R) 的图象过点(16,2),若f(m)=3,则实数m 的 值为 . 5.(多选题)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠ 0),对任意实数t都有f(4+t)=f(-t)成立, 则函数值f(-1),f(1),f(2),f(5)中,最小 的可能是 ( ) A.f(-1) B.f(1) C.f(2) D.f(5) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 幂函数的图象及性质 【例1】