2.2 函数的单调性与最值-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

@第二章 函数的概念与基本初等函数 2.2 函数的单调性与最值 5A>! 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. AMc
-  -@) 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域 D 内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2 当 x1 < x2 时,都 有 ,那么就称函数 f(x)在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是增函数 当 x1 < x2 时,都 有 ,那么就称函数 f(x)在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性, 叫做y= f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数 M 满足: 条件 (1)∀x∈D,都有 ; (2)∃x0∈D,使得 (1)∀x∈D,都有 ; (2)∃x0∈D,使得 结论 M 为最大值 M 为最小值 常用结论与知识拓展 1.函数单调性的等价定义 设任意x1,x2∈D(x1≠x2),则(1) f(x1)-f(x2) x1-x2 >0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在D 上单调递增; (2)f (x1)-f(x2) x1-x2 <0(或(x1-x2)[f(x1)- f(x2)]<0)⇔f(x)在D 上单调递减. 2.函数f(x)=ax+ b x 的单调性 若a>0,b<0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞) 上是增函数,若a<0,b>0,则函数在区间(-∞,0), (0,+∞)上是减函数;若a>0,b>0,则函数在区间 - b a ,0 ,0, ba 上是减函数,在区间 - ∞, - b a , ba ,+∞ 上是增函数. 特别地,“对勾函数”y=x+ a x (a>0)的单调递 增区间为(-∞,- a),(a,+∞);单调递减区间是 [- a,0),(0,a]. 3.与函数运算有关的单调性结论 (1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的 单调性. (2)k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同; k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与 1 f(x) 具有相反的单调性. (4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都 恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒 小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数. (5)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031 hh (6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数 的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若 两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函 数为减函数.简称“同增异减”. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)函数y= 1 x 的单调递减区间是(-∞,0)∪ (0,+∞). ( ) (2)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则 f(x)为增函数. ( ) (3)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数, 则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ) (4)函数f(x)<1恒成立,则f(x)的最大值 为1. ( ) (5)若y=f(x)在区间D 上单调递增,则函 数y=kf(x)(k<0)在区间D 上单调递减. ( ) 2.(教材改编题)函数f(x)的 图 象 如 图 所 示,则 函 数 f(x)在区间 上 单调递增,函数f(x)在区 间 上单调递减. 3.(教材改编题)函数f(x)=|x -a|+1在 [2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围 是