1.5 一元二次方程、不等式-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

hh 1.5 一元二次方程、不等式 5A>! 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数. 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函 数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. AMc
-  -@) 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ =b2-4ac Δ>0 Δ =0 Δ<0 二次 函 数 y = ax2+bx+c(a >0)的图象 方程ax2+bx+ c=0(a>0)的 根 有两个不相等 的实数根x1, x2(x1 <x2) 有两个相等 的 实 数 根 x1 = x2 = - b 2a 没有实数根 ax2+bx+c> 0(a>0)的解集 x x≠- b 2a R ax2+bx+c< 0(a>0)的解集 " 当Δ <0时,不等式ax2+bx +c> 0(a≠0)的解集为R还是 ⌀,要注意区别. 3.分式不等式与整式不等式 (1)f (x) g(x)> 0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0); (2)f (x) g(x)≥ 0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0) 且g(x)≠0. 4.简单的绝对值不等式 绝对值不等式|x|>a(a >0)的解集为 (-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0) 的解集为(-a,a).记忆口诀:大于号取两边, 小于号取中间. 常用结论与注意点 1.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时不要忘记当 a=0时的情形. 2.解形如一元二次不等式ax2+bx+c>0时,易 忽视对系数a 的讨论导致漏解或错解,要注意分a> 0,a<0进行讨论. 3.求解分式不等式时注意正确进行同解变形,不 能把f(x) g(x)≤ 0直接转化为f(x)·g(x)≤0,而忽视 g(x)≠0. 4.单、双变量恒成立、有解、无解的转化 (1)单变量 ①对任意的x∈[m,n],a>f(x)恒成立⇒a> f(x)max; 若存在x∈[m,n],a>f(x)有解⇒a>f(x)min; 若对任意x ∈ [m,n],a >f(x)无解 ⇒a ≤ f(x)min. ②对任意的x∈[m,n],a<f(x)恒成立 ⇒a< f(x)min; 若存在x∈[m,n],a<f(x)有解⇒a<f(x)max; 若对任意x ∈ [m,n],a <f(x)无解 ⇒a ≥ f(x)max. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 020 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 (2)双变量 ① 对任意的x∈[a,b],不等式f(x)>g(x)恒 成立,只需[f(x)-g(x)]min>0. ② 存在x0 ∈ [a,b],不等式f(x0)>g(x0)成 立,只需[f(x)-g(x)]max >0. ③ 对 任 意 x1 ∈ [a,b],x2 ∈ [c,d],不 等 式 f(x1)>g(x2)恒成立,只需f(x)min>g(x)max. ④ 存 在 x1 ∈ [a,b],x2 ∈ [c,d], 不 等 式 f(x1)>g(x2)成立,只需f(x)max >g(x)min. ⑤ 对任意x1 ∈ [a,b],存在x2∈ [c,d],不等式 f(x1)>g(x2)成立,只需f(x)min>g(x)min. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)若方程ax2+bx+c=0无实数根,则不等 式ax2+bx+c>0的解集为R. ( ) (2)若二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 (x1,x2),则a<0. ( ) (3)若ax2+bx+c>0恒成立,则a>0且 Δ<0. ( ) (4)不等式x-ax-b ≥ 0等价于(x -a)(x - b)≥0. ( ) (5)x(x+2)2>0的解集是(-∞,-2)∪ (0,+∞). ( ) 2.(教材改编题)不等式 2x+1≤ 1的解集是 . 3.(教材改编题)若关于x 的