1.4 基本不等式-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案

@第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.4 基本不等式 5A>! 1.掌握基本不等式 ab ≤ a+b 2 (a,b>0)及其推导过程. 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. AMc
-  -@) 1.基本不等式 ab ≤ a+b 2 (1)基本不等式成立的条件: . (2)等号成立的条件:当且仅当 时取 等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥ (a,b∈R). (2)ba + a b ≥ (a,b同号). (3)ab≤ a+b 2 2 (a,b∈R). (4)a 2+b2 2 ≥ a+b 2 2 (a,b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 3.算术平均数与几何平均数 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算 术平均数;数 ab 称为a,b的几何平均数.基 本不等式可叙述为: . 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y>0. (1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y 时,x+y 有最小值,是 (简记:积定 和最小). (2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当x= y时,xy有最大值,是 (简记:和定积 最大). 常用结论与注意点 1.常用的几个结论 (1)若x ≠0,则 x+ 1 x ≥2 ,当且仅当x=±1 时,等号成立. (2)若ab≠0,则 b a + a b ≥2 ,当且仅当a=±b 时,等号成立. (3)若ab>0,x≠0,则 ax+ b x ≥2 ab ,当且 仅当x=± b a 时,等号成立. (4)若a>0,b>0,则 2 1 a + 1 b ≤ ab≤ a+b 2 ≤ a2+b2 2 ,当且仅当a=b时,等号成立. (5)a2+b2+c2 ≥ab+bc+ca. 2.利用基本不等式求最值的两个常用结论 (1)已知a>0,b>0,x>0,y>0,若ax+by= 1,则有1x + 1 y = (ax+by) 1 x + 1 y =a+b+byx + ax y ≥ a+b+2 ab=(a + b)2. (2)已知a>0,b>0,x>0,y>0,若 a x + b y = 1,则有x+y=(x+y) a x + b y =a+b+ayx +bxy ≥ a+b+2 ab=(a + b)2. 3.应用基本不等式求最值要注意:“一正,二定,三 相等”,忽略某个条件,就会出错. 4.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次 使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们 等号成立的条件一致. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 015 hh -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)两个不等式a2+b2≥2ab与 a+b 2 ≥ ab 成立的条件是相同的. ( ) (2)函数y=x+ 1 x 的最小值是2. ( ) (3)函数f(x)=sin x+ 4 sin x 的最小值为4. ( ) (4)“x >0且y>0”是“ x y + y x ≥2 ”的充分 不必要条件. ( ) (5)若x >0,y>0且x+y=xy,则xy的 最小值为4. ( ) 2.(教材改编题)已知a,b∈(0,1)且a≠b,下 列各式中最大的是 .(填序号) ①a2+b2;②2 ab;③2ab;④a+b. 3.(教材改编题)当x= 时,x2+ 1 x2 取 得最小值 . 4.(教材改编题)若把总长为20 m的篱笆围成 一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 . 5.(多选题)(2020·新高考 Ⅰ 卷)已知a>0, b>0,且a+b=1,则 ( ) A.a2+b2≥ 1 2 B.2a-b > 1 2 C.log2a+log2b≥-2 D.a + b ≤ 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 用基本