第二章等式与不等式 基础夯实单元达标测——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章 等式与不等式 A卷 基础夯实——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第一册单元达标测试卷 【满分：150分】【时间：120分钟】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.不论a，b为何实数，的值( ) A.总是正数 B.总是负数 C.可以是零 D.可以是正数也可以是负数 2.不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图.请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知，则该方程的整数解有( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 3.设，，则( ) A. B. C. D. 4.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 5.设，则“”是“”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 7.已知正数a，b满足，则有( ) A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值 8.在使成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做的上确界，若，，且，则的上确界为( ) A.-3 B.-4 C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。） 9.已知关于x的方程，则下列结论中正确的是( ) A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B.方程有两个正根的充要条件是或 C.方程无实数根的一个必要条件是 D.当时，方程的两个实数根之和为0 10.下列说法正确的是( ) A.若，则一定有 B.若，且，则的最小值为0 C.若，则的最小值为4 D.若关于x的不等式的解集是，则 11.已知，，且，则( ) A.有最大值 B.有最小值 C.ab有最大值 D.ab有最小值 12.受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奧运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分別为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.下列结论一定成立的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若，则当取最大值时x的值为___________. 14.已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________. 15.不等式的解集是__________. 16.已知，，且，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10分）已知关于x的不等式. （1）若，求该不等式的解集； （2）若，求该不等式的解集. 18. （12分）已知不等式的解集为或. （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式（其中c为实数）. 19. （12分）某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本t(单位：元)由两部分构成：①固定成本(与生产服装的数量无关)元；②生产所需材料成本为(单位：元)，x为每月生产服装的件数. (1)用该设备生产服装，每月产量x为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少? (2)若每月生产x件服装，每件售价为(单位：元)，假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元? 20. （12分）已知，. (1)求证：. (2)若，求ab的最小值. 21. （12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的关系为. （1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?(保留分数形式) （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 22. （12分）设矩形的周长为，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，如图所示，设，. （1）求y与x之间的关系式； （2）求的最大面积及相应x的值. 答案以及解析 1.答案：A 解析：因为，所以的值总是正数. 2.答案：D 解析：设此方程的解为有序数对.因为，所以，当或时，等式不成立，所以，，即，.当时，，即；当时，，即或；当时，，即.综上所述，共有四组解，，，.故选D. 3.答案：D 解析：因为，所以.由不等式的性质可得，即，故A错误.因为，所以，，所以，即.由不等式的性质可得，，则，故B错误..因为，所以，，所以.又因为，所以，