第二章 小结与复习-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第二章 小结与复习 知识网络∙体系构建 【主题1】 直线与圆的方程的探究及函数与方程思想的应用  【例1】已知圆经过两点,且在轴上截得的线段的长为4,半径小于5. (1) 求圆的方程; (2) 若直线,且与圆交于点,且以线段为直径的圆经过坐标原点,求直线的方程. 主题归纳∙综合提升 思路点拨 (1) 运用直接法,根据题目的条件,求出圆心和半径,再代入圆的标准方程,即得所求圆的方程. (2) 由直线,可得直线的斜率,运用待定系数法,设直线的方程为,求出待定系数即可. 解： (1) 由题意易得直线的方程为.设圆心,半径为,易知线段的垂直平分线的方程,即,所以 ①.由圆在轴上截得线段的长为,,②,由①②得,或,.当,时,13,满足题意;当时,=37,不满足题意.故圆的方程.　(2) 设直线的方程为,.由题意可,即=0,所,化简 ③.由,所,代入③,得-12-,所以或,经检验都满足题意,所以直线的方程为或. 【变式训练1】 在平面直角坐标系中,已知圆心在直线上,圆经过点,但不经过坐标原点,并且直线与圆相交所得的弦长为4. (1) 求圆的一般方程; (2) 若从点发出的光线经过轴反射,反射光线刚好通过圆的圆心,求反射光线所在直线的方程(用一般式表达). 【解】(1) 设圆,因为圆心在直线上,所以,又圆经过点,所以,而圆心到直线的距离,易得,,从而可得或又经过坐标原点,所以舍去.故圆的标准方程为,化为一般方程为. (2) 点关于轴对称的点为,反射光线所在的直线即为所在的直线,又,所以反射光线所在直线的方程所以反射光线所在直线的一般式方程为. 【点评总结】 (1) 求直线的方程一般有以下两种方法:① 直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程;② 待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.、(2) 求圆的方程一般也有两种方法:① 直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程;② 待定系数法:一是选择圆的标准方程,求出的值;二是选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于的方程组,进而求出的值. 待定系数法是求直线与圆的方程的最基本的方法也是最常用的方法,先用待定系数表示出直线或圆的方程,再根据题目条件列出关于待定系数的方程(组),解方程(组)求出待定系数的值. 【例2】 思路点拨 (1) 已知圆的半径为2,只要求出圆心的坐标,代入圆的标准方程即可.　 (2) 就是否垂直于轴分两种情形讨论:当直线垂直于轴时,显然在轴正半轴上存在定点,使得轴平分;当直线不垂直于轴时,直线的方程可表示为,假设存在,由轴平分的条件求出值,问题就迎刃而解了. 【主题2】直线与圆的位置关系的探究及分类讨论思想的应用  已知直线,半径为2的圆与相切,圆心在轴上且在直线的右上方. (1) 求圆的方程; (2) 过点的直线与圆交于两点(点在轴上方),问:在轴正半轴上是否存在定点,使得轴平分?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 【解】 (1) 由题意可设圆心）,解得或(舍去).所以圆的方程为=4.　(2) 分两种情况讨论:当直线垂直于轴时,轴平分.当直线不垂直于轴时,则直线AB的斜率存在,设直线的方程为由得所.若轴平分,设直线的斜率分别为,,,,整理得,解得,所以当点为时,能使得总成立,即轴平分. 【变式训练2】 已知过点的动直线与圆相交于两点,是的中点,与直线相交于点,如图. (1) 求证:当直线垂直时,直线必过圆心; (2) 当时,求直线的方程; (3) 探是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由. 【解】 (1) 证明:因为垂直,且直线的斜,所以直线的斜.又直线的斜,直线也过点,所以当垂直时,必过圆心.　(2) 分两种情形讨论:当直线与轴垂直时,易知,符合题意.当直线轴不垂直时,设直线的方程为,即因为,所,.所以直线故所求的直线的方程为.　(3) 因为,所.以下分两种情形讨论: 当轴垂直时,易得,当轴不垂直时,的斜率存在,设直线的方程为,则由得,所所综上所述,与直线的倾斜角无关 (1) 研究直线与圆的位置关系问题,常用的方法有两种:① 代数法:通过直线与圆的方程组成的方程组的解来研究;② 几何法:利用直线与圆相离、相切和相交的几何性质来研究.在实际问题中多用几何法,数形结合,运算量小,简洁明了,操作方便. (2) 分类讨论是一种重要的数学思想,在研究直线与圆的位置关系特别是求直线的方程时,常常需要就直线的斜率或直线在坐标轴上的截距是否存在进行分类讨论,以防止忽略讨论而导致的解题失误. 【点评总结】 【主题3】圆与圆的位置关系的探究及数形结合思想的应用 【例3】 思路点拨：根据两圆的位置关系求解即可. [教材改编题]圆的方程,圆的圆心坐标为. (1)