重庆市二0三中学校2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

二〇三中学2023年秋季开学质量检测高2022级数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 班级： 姓名： 考号： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（ ） A. 98 B. 99 C. 99.5 D. 100 3. 如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个平面，，两条直线l，m，则下列命题正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若l，m是异面直线，，，，，则 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P在边长为2的正方形ABCD内部及其边界上运动，已知点，，，则的最大值是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 7. 在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若 的面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分） 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. z的虚部为1 C. z的共轭复数为 D. 10. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是BC的中点 B. 若，则点M是的重心 C. 若，则点M，B，C三点共线 D. 若，则 11. 设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A与B相互独立，则 D. 若A与B相互独立，则 12. 如图，在正方体中，P为线段上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A B. 平面平面 C. 存在唯一点P，使得为90° D. 当点P为中点时，取得最小值 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 过圆锥的轴的截面是顶角为120°的等腰三角形，若圆锥的体积为π，则圆锥的母线长为__________． 14. 在平面四边形中，，，，若，则面积为_________. 15. 三棱锥，平面，，，，（单位：cm）则三棱锥外接球的体积等于_____________． 16. 设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是_____________． 四、解答题（每小题12分，共70分） 17. 已知 . （1）若，求与的夹角 （2）若与的夹角为45°，求 的值 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足． （1）求角C的大小． （2）若，的面积为，求边长c的值． 19. 如图，在四棱锥S−ABCD中，，，，. （1）求证：直线平面SBC； （2）求证：直线平面SAB； 20. 某公司为了解员工对食堂满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图. （1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）； （2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数. 21. 如图，在直三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，，分别是与的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 22. 在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD是固定的，路宽．设灯柱高，． （1）经测量当，时，路灯C发出锥形灯罩刚好覆盖AD，求∠ACD； （2）因市政规划需要，道路AD要向右拓宽6m，求灯柱的高h（用来表示）； （3）在（2）的条件下，若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值． 二〇三中学2023年秋季开学质量检测高2022级数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 班级： 姓名：