浙江省“南太湖”联盟2023-2024学年高二上学期第一次联考数学试题

2023学年第一学期“南太湖”联盟高二年级第一次联考 数学学科试题卷 本卷共4页满分150分，考试时间120分钟 出卷人：徐卫锋 、 吕平 审核人：薛燕鸣 、 何伟伟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，集合，则（  ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（  ） A． B．1 C． D． 3．若m，n是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则（  ） A． B． C． D． 5．如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（  ）． A． B． C． D． 6．已知向量，，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 7．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（  ）    A．60m B．74m C．52m D．91m 8．棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（  ）    A． B．1 C． D． 二、多选题：本答题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．若，，，则事件与的关系错误是（   ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又独立 10．对数函数（且）与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A．  B．  C．   D．   11．关于函数，下列命题是真命题的是（   ） A．函数的周期为 B．直线是的一条对称轴 C．点是的图像的一个对称中心 D．函数的最大值为2 12．在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．对于任意点，都有平面平面 C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为 三、填空题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，，若向量与平行，则 ． 14．数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为 ． 15若的面积为，则 . 16． 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应给出文字说明、证明过程。 17．已知，． (1)求与夹角的余弦值； (2)当时，求实数k的值． 18．习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.    (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少? 19．在中，角的对边分别为. (1)求角； (2)若的面积为，求的周长. 20．已知是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 21．如图，是⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，是圆周上不同于的一动点．    (1)证明：是直角三角形； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 2