空间向量与立体几何之最值问题（二）讲义-2024届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何之最值问题 题型四、斜棱柱的最值问题 1．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，． (1)当时，求三棱柱的体积； (2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 1．如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 题型五、台体的最值问题 1．在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的大小为．  (1)若，，，证明：平面； (2)若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值． 1．如图，三棱台中，是的中点，E是棱上的动点． (1)试确定点E的位置，使平面； (2)已知平面．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最小值． 题型六、其他立体图形的最值问题 1．如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，. (1)证明：； (2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值. 1．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，. （1）求证：平面，平面； （2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值. 2．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围. 1．如图，已知三棱柱中，，，，是的中点，是线段上一点. (1)求证：； (2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求棱锥的体积.   2．如图，三棱台中，，D是AC的中点，E是棱BC上的动点． (1)若平面，确定的位置. (2)已知平面ABC，且．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最大值． 3．在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，，平面平面，. (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点在直线上，求直线与平面所成角的最大值. 4．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，点为的中点，为半个圆柱上底面的直径，且，．为的中点． 证明：在上可以找到无数个点与的连线与平面平行； 若是线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值． 5. 如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面， ，平面与平面的交线为 证明：直线平面 已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围． $$空间向量与立体几何之最值问题 题型四、斜棱柱的最值问题 1．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，． (1)当时，求三棱柱的体积； (2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【详解】（1）解：如图，取的中点为O， 因为为菱形，且，所以为正三角形， 又有为正三角形且边长为2，则，， 且，，所以， 所以，因为又， 平面，平面，所以平面， 所以三棱柱的体积． （2）在中，，，由余弦定理可得， 所以，由（1），， 又，平面，平面，所以平面，因为平面， 所以平面平面，所以在平面内作，则平面， 以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，，，， 设是平面的一个法向量， ，， 则，即，取得，设， 则， 设直线与平面所成角为，则， 令，则在单调递增，所以， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 1．如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【详解】（1）因为点为棱的中点，， 所以A,B,C三点共圆，且AC为直径，所以. 因为平面，平面，所以. 又因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）设，以为轴，为轴，过点与垂直的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，   则. 所以，，， 设平面的法向量为，所以 令，则，.所以.