空间向量与立体几何之最值问题（一）讲义-2024届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何之最值问题 题型一、柱体的最值问题 1.（2020-2021·全国·高考真卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，． 证明：； 当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？ 2.如图，在三棱柱中，底面，为的中点，点为棱 上的动点（不包括端点）， 求证：平面 求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 1.如图，在正三棱柱中，，是的中点． 证明：平面； 若为直线 上一动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 2.如图，在直四棱柱中，底面为菱形， ， . 点为直线上的动点，求证： ; 点为直线上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 题型二、锥体的最值问题 1.如图，在中，，，为的外心， 平面，且. 求证： 平面；并计算与平面之间的距离． 设平面平面，若点在线段上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值． 2.如图，在四棱锥中，底面是梯形， 证明： 平面； 若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 3．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长. 4．如图，在四棱锥中，底面是平形四边形，平面，点，分别为,的中点，且，. （1）证明：平面； （2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的平面角余弦值的取值范围. 1．如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，且，的中点为. （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点，设直线与平面所成角的大小为，求的最大值. 2．如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点. (1)当时，证明：平面； (2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大. 3．如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.   (1)证明：平面平面； (2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值. 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. (1)求证：平面平面PBC； (2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值. 题型三、折叠型立体图形的最值问题 1．如图1，在边长为4的等边中，，分别是，的中点．将沿折至（如图2），使得． (1)证明：平面平面； (2)若点在棱上，当与平面所成角最大时，求的长． 2．如图，在中，分别为的中点，为的一个三等分点（靠近点）．将沿折起，记折起后点为，连接为上的一点，且，连接． （1）求证：平面； （2）若，直线与平面所成的角为，当最大时，求，并计算． 3．如图，四边形中，，E，F分别在，上，，现将四边形沿折起，使． (1)若，在折叠后的线段上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点F到平面的距离． 4.如图，在菱形中，＝，＝，沿对角线将折起，使，之间的距离为，若，分别为线段，上的动点． （1）求线段长度的最小值； （2）当线段长度最小时，求直线与平面所成角的正弦值． 1．筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．     (1)求到平面的距离； (2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 3．如图1，平面图形是一个直角梯形，其中，是上一点，且.将沿着折起使得平面平面，连接，分别是的中点，如图2.