第二章 小结与复习(2)-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 小结 知识结构·体系构建 思路点拨：这是一个含有参数的一元二次不等式，由于参数的取值与对应的一元二次方程是否有解相关，因而参数情况会对不等式的解集产生影响，故需要根据对应的一元二次方程的判别式的值的情况分类讨论． 【例1】[教材改编题]解关于的一元二次不等式. 主题1　含参数的一元二次不等式解法及分类讨论思想的应用 【解】 对方程的根的情况进行分类讨论.因为方程的.当时,,方程有两个不等的实数根和,所以不等式的解集为;当时,,方程有两个相等的实数根,所以不等式的解集为;当时,,方程没有实数根,所以不等式的解集为.综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为. 【变式训练1】解关于的不等式 【解】 可以先对不等式左侧进行因式分解,并对两根大小进行讨论.原不等式可化为. ① 当,即时,不等式的解集为. ② 当,即时,不等式解集为. ③ 当,即时,不等式解集为.综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为. 【例2】解关于的不等式. 思路点拨：解答本题的关键在于观察的系数和判别式与的关系．首先分类讨论和的情况，当时，求出原不等式的解集；其次，当时，观察判别式，分类讨论的情况，解出不等式的解集． 【解】 ① 当时,原不等式化为,不等式的解集为.② 当时,.当时,原不等式等价于,不等式的解集为;当时,且,不等式的解集为;当时,则且,故不等式的解集为.③当时,则且,故不等式的解集为.综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为. 【变式训练2】 解关于的不等式 【解】 当时,不等式的解集为.当时,此时恒成立,不等式对应方程的两根为,不等式的解集为.当时,若,即时,不等式的解集为;若,即时,不等式的解集为;若,即时,不等式对应方程的两根为,所以不等式的解集为.综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为. 思路点拨: 由于二次项系数为字母参数，首先需要考虑二次项系数是否为，当二次项系数不为时，可画出对应一元二次函数的图象，数形结合解决问题． 【例3】[·汉中调研]已知函数，若对任意实数，恒有则实数的取值范围是________. 主题2　不等式恒成立求参数范围问题解法及数形结合思想的应用 【解】 由,即可得到关于的不等式对任意实数恒成立,令.若,则恒成立,满足题意.若,则对任意的实数恒成立,可转化为对应二次函数的图象恒在轴下方,或与轴有一个交点,即对应方程无实数根或有两个相等的实数根,所以解得.综上所述,实数的取值范围是. 【变式训练3】 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【解】 方法1:令,结合一元二次函数图象,当时,不等式恒成立可得到不等式对应方程的,即,当的值为或时的值均小于. 即有解得,所以实数的取值范围为. 【解】 方法2：将原不等式展开，并重新整理得到不等式 对任意 恒成立，∵,∴不等式可转化为 ，即 对任意 恒成立， 当 时， ∴实数 的取值范围为. 【例4】已知，不等式恒成立，则的取值范围为________. 思路点拨：思路一：与变式训练3相比，例4将不等式改为大于0恒成立，结合图象看，情况变化比较多：首先对根的存在性分三类讨论，在方程存在两不等根时也需要对根的分布情况进行讨论．思路二：不等式恒成立问题常用的方法之一是“参变分离”，从而将此问题转化为求函数的最值问题． 【解】 方法1:令,结合一元二次函数图象,可分析得到不等式恒成立时,其对应方程根的情况有以下三种:① 方程无实数根,即,此情况不成立.② 方程有两个相等实根,即,即,不等式为,显然满足题意.③ 方程有两个不等实根,即,即.结合一元二次函数图象,可分析得到此时对应方程两根,(图①)或 ,(图②),对应条件分别为 或 第一个不等式组无解,第二个不等式组解得或.综上所述,的取值范围为. 方法2:将原不等式展开并重新整理得到不等式对任意恒成立,因为,所以不等式可转化为,即,对任意恒成立,则,所以的取值范围为. 【变式训练4】 已知，不等式恒成立，则的取值范围为(　　) A. B. C. D. C 【解】 记是关于的一次函数,则当时,其图象为一条线段,由即等价于该线段恒在横轴上方,从而只需两端点的纵坐标大于零即可,因此当时,,且当时,,由此可得不等式组解之得或.故选. 思路点拨: 思路一：通过消元转化为求函数的最值． 思路二：利用基本不等式转化为解一元二次不等式的问题． 思路三：利用一元二次方程根与系数的关系配凑成含参数的一元二次方程，将其转化为求一元二次方