指数与指数函数-高一上学期必修一同步导学案

指数与指数函数 【考纲解读】 1、理解分数指数.无理数指数和实数指数的定义： 2、了解n次根式的定义.n次根式与分数指数之间的关系.n次根式与分数指数互化的基 本方法： 3、掌握实数指数的运用性质和基本方法.能够熟练地进行实数指数的运算： 4、理解指数函数的定义： 5、掌握指数函数的图像和性质，能够运用指数函数的图像和性质解答相关的数学问题 【知识精讲】 一、指数的概念： 1、n次根式的定义： (1)n次方根的定义：如果x"=a(n>l,且n∈N).那么称x是数a的n次方根： (2)n次方根的分类：按n的奇偶性不同n次方根分成：①奇次方根：②偶次方根： (3)奇次方根：奇次方根的典型代表是立方根.奇次方根可表示为ā，奇次方根被开方 数的取值范围是R,奇次方根具有如下性质：①一个正数的奇次方根是一个正数：②帮的奇 次方根是零：③-个负数的奇次方根是一个负数：④(a)”=a:⑤√a=a: (4)偶次方根：偶次方根的典型代表是平方根.，偶次方根可表示为±√ā(a≥0)，偶次方 根的被开方数的取值范围是[0.+∞).偶次方根具有如下性质：①一个正数的偶次方根有 两个，它们互为相反数：②零的偶次方根是零：③负数没有偶次方根：④(Va)”=a(a≥0)： ⑤√a”=lal:⑥正数正的偶次方根称为偶次算术根.表示为√后(a≥0)，0的偶次算术根 为雾。 (5)n次根式的定义：式子a(n>1,且n∈N),叫做n次根式，这里n是根指数.a是被 开方数。 2、分数指数幂的概念： (1)分数指数幂的定义：①正分数指数幂a=a(a>0,n.mlN.且n>1).② .1 负分数指数幂an= (a>0,n,mlW,且n>1).③0的正分数指数幂=0.0的 负分数指数幂没有意义： (2)指数概念的扩充：有了分数指数幂的定义，指数从整数指数幂扩充到了有理数指数 幂： (3)有理数指数的运算性质：①a.a=a"(a>0,s、rIQ),②(a)=(a >0,s、rlQ).③(ab)'=db(a>0,b>0,rlQ)a 3、实数指数幂的概念： (1)无理数指数幂的定义：a”(a>0,p是无理数)表示一个确定的实数.则称aP是数 的无理数指数幂.并且有理数指数的运算性质对无理数指数也成立： (2)指数极念的扩充：有了无理数指数，指数又从有理数指数幂扩充到了实数指数幂： (3)实数指数的运算性质：①a.a=ar(a>0,s.rlR),②(a)=(a>0,s.r R).③(ab)'=db(a>0,b>0,rlR)。 二、指数函数： 1、指数函数的概念： (1)指数函数的定义：形如y=a(a>0,且a≠1)的函数.叫做指数函数： (2)理解指数函数定义时应该注意的问题：①指数函数的结构特征：②底数ā的限制条件。 『思考问题！ 函数y=2.3,y=2.y=32.y=2-1都不是指数函数。 2、指数函数的图像： 【问题】解答下列问题： (1)作出函数y=2*的图像： (2)函数y=(一)'的图像。 0 X 0 『思考问题」 (1)指数函数y=a广(a>0,且a≠1)图像注意三个关键点：@(1，a,②(0.1).③(1，)： (2)函数y=a(a>1)的图像与【问题】中函数y=2的图像类似.这是因为2>1： (3)函数y=a(0<a<1)的图像与【问题】中函数y=() 的图像类似.这是因为0< <1。 3、指数函数的性质： 结合【问题】中的图像把下表的空白处填上适当的内容： 函数 y=a(a>1) y=a(0<a<1) 定义域 R R 值域 (0.+￥) (0.+￥) 图像必过点 (0.1) (0.1) 函数的单调性 在R上单调递增 在R上单调递减 xl(∞，0) 值域为(0.1) 值域为(1，+￥) xI〔0，+m) 值域为[1.+￥) 值域为(0.1] 【探导考点】 考点1实数指数的定义及运算：热点④分数指数的定义及运用：热点②实数指数运算性质及 运用。 考点2指数函数及运用：热点①指数函数的定义及表示：热点②指数函数的图像及运用：热 点3指数函数的性质及运用。 考点3指数方程与不等式：热点①求解指数方程的基本方法：热点②求解指数不等式的基本 方法。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、化简5的结果为() 5 -5 0 -5 2、若(1-2x)4有意义，则×的取值范围是() A x IR B x10.5 C x>0.5 ×<0.5 3、下列根式与分数指数幂的互化正确的是() 4、已知a>0,且a1.对于0￡r￡8.r∈N,式子(0”.(y能化成关于a的整 数指数幂的情形有()种 1 B 2 4 5、计算(2a3b3)·(-3ab),(4a4b3)得() A 3b6 D -3 2 3 6、下列等式中，错误的是() 22 1 1 A(27a3)3.0.3a1=10a2