高频热点26 新情境、新定义问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点26 新情境、新定义问题 一、直击热点 以素养为导向的新高考数学命题突出立德树人、学科育人,注重问题情境设计,关注学生的数学阅读能力.新高考实施以来,命题的形式以及设问方式发生了很大的变化,探究与开放已成为命题的新常态.新情境、新定义问题以选择题、填空题为主,可以涉及所有主干知识,主要考查学生对数学的理解程度以及知识迁移和创新能力. 二、热点问题 (多选)对于函数f(x),g(x)和区间E,如果不存在x0∈E,使|f(x0)-g(x0)|<1,那么我们称函数f(x)与g(x)在区间E上“不互相接近”.下列给出的两个函数在区间(0,+∞)上“不互相接近”的有 (　　) A. f(x)=x2,g(x)=2x-3 B. f(x)=,g(x)=x+2 C. f(x)=e-x,g(x)=- D. f(x)=lnx,g(x)=x 【深度剖析】对于选项A,f(x)-g(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以不存在x0∈(0,+∞),使|f(x0)-g(x0)|<1,故选项A满足两函数“不互相接近”. 对于选项B,g(x)-f(x)=x+2-=（-）2+≥,所以不存在x0∈(0,+∞),使|f(x0)-g(x0)|<1, 故选项B满足两函数“不互相接近”.对于选项C,令h(x)=f(x)-g(x)=e-x+,h'(x)=-e-x-<0,所以函数在(0,+∞)上单调递减,当x→+∞时,h(x)→0,所以存在x0∈(0,+∞),使|f(x0)-g(x0)|<1, 故选项C不满足两函数“不互相接近”. 对于选项D,令h(x)=g(x)-f(x)=x-lnx(x>0),h'(x)=1-,令h'(x)>0,可得x>1,令h'(x)<0,可得0<x<1, 所以当x=1时,h(x)取得极小值,且为最小值,最小值为h(1)=1,所以g(x)-f(x)≥1,故不存在x0∈(0,+∞),使|f(x0)-g(x0)|<1,故选项D满足两函数“不互相接近”. 故选ABD. 【题眼】 本题属于新情境、新定义问题,旨在考查学生的数学阅读、逻辑推理和数学运算能力,主要检测转化与化归思想在解决问题中的应用,即能运用所学知识与方法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题进行解决,试题情境为课程学习情境和探索创新情境.这类试题解题的关键是理解新定义.本题需要学生理解两个函数在区间(0,+∞)上“不互相接近”的含义,同时考查配方法、导数法求函数的值域:对照新定义,作差后利用配方法求函数f(x)-g(x)的值域判断A;作差后利用配方法求函数g(x)-f(x)的值域判断B;作差后利用导数法确定函数的值域判断C与D. 三、触类旁通 1. 对于函数y=f(x),若存在x0,使f(x0)=-f(-x0),则称点(x0,f(x0))与点(-x0,-f(-x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)=的图象存在“隐对称点”,则实数m的取值范围是（ ） A. [2-2,0) B. (-∞,2-2] C. (-∞,2+2] D. (0,2+2] 2. (多选)若函数y=在(1,+∞)上单调递减,则称f(x)为“M函数”.下列函数中为“M函数”的有 (　　) A. f(x)=1 B. f(x)=x C. f(x)= D. f(x)=x2 3. (多选)在平面直角坐标系xOy中,已知任意角θ以x轴非负半轴为始边,终边经过点P(x,y),且|OP|=r(r>0),定义sicosθ=,称sicosθ为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”y=sicosx,下列结论中正确的有 (　　) A. 该函数是偶函数 B. 该函数的一个对称中心是（,0） C. 该函数的单调递减区间是,k∈Z D. 该函数的图象与直线y=没有交点 4. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点的距离之和最小的点.当三角形内的三个内角均小于120°时,费马点与三个顶点的连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角均为120°.根据以上性质,函数f(x)=++的最小值为　　　　.  四、方法提炼 在高考数学中,各类新定义问题屡见不鲜,这需要学生有扎实的数学基础知识和良好的数学理解能力.解题时,学生需要对新情境、新定义进行分析与研究,在阅读与分析中理解新情境、新定义,尝试将其向熟悉的数学情境进行迁移,运用已有的基本经验和方法解决问题,并在解决问题的过程中不断发现新问题、解决新问题. 本题选项A和B,分别构造了二次函数模型f(x)-g(x)=x2-2x+3和g(x)-f(x)=（-）2+,选项C构造了h(x)=f(x)-g(x)=e-x+,选项D则构造了h(x)=g(x)-f(x)=x-lnx(x>0),通过运用不同方法求熟悉函数的值域来判断两个函数是否“不互相接近”.在本题解决后建议大家自主研究任意两个