高频热点23 极值点偏移问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点23　极值点偏移问题 基础巩固 1. 若函数f(x)=x3-3ax2+12x(a>0)存在两个极值点x1,x2,则f(x1)+f(x2)的取值范围是 (　　) A. (-∞,16] B. (-∞,16) C. (16,+∞) D. [16,+∞) 2. 已知直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=lnx的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列结论中错误的是 (　　) A. x1+x2=2 B. +>2e C. +x2lnx2<0 D. x1x2> 3. (多选)关于函数f(x)=,下列说法中正确的有 (　　) A. x=e是f(x)的极大值点 B. f(2)>f(2) C. 若不等式kx≥f(x)对任意x>0恒成立,则k的取值范围是 D. 对任意两个正实数x1,x2,且x1≠x2,若f(x1)=f(x2),则x1x2>e2 4. 定义在R上的函数y=f(x),满足f(3-x)=f(x),f'(x)<0.若x1<x2,且x1+x2>3,则f(x1)　　　　f(x2).(填“>”“<”或“=”)  5. 已知函数f(x)=x-(a>0)有两个相异零点x1,x2,且x1<x2,求证:<. 6. 已知函数f(x)=-2lnx(a∈R,a≠0). (1) 求函数f(x)的极值; (2) 若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),且a=4,求证:x1+x2>4. 综合应用 7. 已知f(x)=xe-x(x∈R),若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),则x1+x2与2的关系为 (　　) A. x1+x2>2 B. x1+x2≥2 C. x1+x2<2 D. 大小不确定 8. (多选)已知方程·ekx=1有两个不同的实数根x1,x2(x1<x2),则下列不等式成立的有 (　　) A. x1·x2>e2 B. x1+x2>2e C. x1-k<e+ D. x2-k>e+ 9. 已知函数f(x)=lnx+x2-ax+a(a>0)有两个极值点x1,x2(x1<x2),则f(x1)+f(x2)的最大值为　　　　.  10. 已知函数f(x)=,x∈(0,π). (1) 求函数f(x)的单调区间; (2) 若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>. 拓广探索 11. (多选)已知函数f(x)=lnx+1-ax有两个零点x1,x2(x1<x2),则 (　　) A. a的取值范围为(-∞,1) B. x1+x2-x1x2>1 C. x1+x2>2 D. +>2 12. 已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)=x2+ax+cosx. (1) 若f(x)为定义域上的增函数,求实数a的取值范围; (2) 若a=-1,f(x1)=f(x2)=0,x1≠x2,f(x0)为f(x)的极小值,求证:x1+x2<2x0. $$高频热点23　极值点偏移问题 1. B　【解析】 由f(x)=x3-3ax2+12x(a>0),则f'(x)=3x2-6ax+12,因为函数f(x)存在两个极值点x1,x2,所以Δ=36a2-4×3×12>0,即a>2,所以x1+x2=2a,x1·x2=4,f(x1)+f(x2)=-3a+12x1+(-3a+12x2)=(x1+x2)(-x1·x2+)-3a[(x1+x2)2-2x1·x2]+12(x1+x2)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1·x2]-3a[(x1+x2)2-2x1·x2]+12(x1+x2)=2a(4a2-12)-3a(4a2-8)+24a=-4a3+24a,设g(a)=-4a3+24a,则g'(a)=-12a2+24=-12(a2-2),当a>2时,g'(a)<0,则g(a)在(2,+∞)上单调递减.所以g(a)<g(2)=16所以f(x1)+f(x2)的取值范围是(-∞,16).故选B. 2. D　【解析】 对A,如图,作出函数y=ex,y=lnx和y=x的草图,因为A,B关于C对称,且0<x1<1<x2,因为C(1,1),所以x1+x2=2,故A正确;对B,由基本不等式,+≥2=2e,因为x1≠x2,所以等号不成立,故B正确;对C,因为0<x1x2<=1,所以0<x1<<1,记f(x)=,则f'(x)=,故0<x<1时,f'(x)>0,所以f(x)=在(0,1)上单调递增,所以f(x1)<f,即<=-x2lnx2,即+x2lnx2<0,故C正确;对D,记g(x)=2-x-lnx,则g(1)=1>0,g()=2--=-<0,则1<x2<,又x1x2=(2-x2)x2=x2lnx2,易知y=xlnx在(1,)上单调递增,故x1x2=x2lnx2<ln=,故D错误.故选D. 　(第2题答图) 3. ABD　【解析】 f'(x)==0⇒x=e⇒f(x)的极大值为f