高频热点21 同构在函数问题中的应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点21　同构在函数问题中的应用 基础巩固 1. 已知函数f(x)=aexlnx(a≠0),若对于任意x∈(0,1),f(x)<x2+xlna恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 2. 若不等式2ex-2>-aln(x+1)+(a+2)x对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为 (　　) A. (-∞,2) B. (-∞,2] C. (2,+∞) D. [2,+∞) 3. (多选)已知关于x的不等式ex-mx-lnx-ln(m+1)≥0在(0,+∞)上恒成立,则满足条件的整数m可以是 (　　) A. -1 B. 0 C. 1 D. e 4. 不等式x1-aex-alnx≥0对任意x∈(1,+∞)恒成立,则正实数a的取值范围为　　　　.  5. 若a>1,不等式xex-x+(a-2)lnx-xa-1>0在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. 6. 已知函数f(x)=. (1) 判断f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2) 若x>0,求证:(ex-1)ln(x+1)>x2. 综合应用 7. 已知α,β均为锐角,且α+β->sinβ-cosα,则(　　) A. sinα>sinβ B. cosα>cosβ C. cosα>sinβ D. sinα>cosβ 8. (多选)已知实数x1,x2满足x1=e3,x2(lnx2-2)=e5,则 (　　) A. x1+2=lnx2 B. x1x2=e5 C. lnx1+x2=3 D. x1x2=5 9. 若对任意x>0,恒有a(eax+1)≥2lnx,则实数a的最小值为　　　　.  10. 已知函数f(x)=ex-xe(x>0). (1) 求f(x)的单调区间; (2) 求证:当x>e时,elnx[lnx-ln(lnx)]<x. 拓广探索 11. 已知不等式x+alnx+>xa对x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的最小值为 (　　) A. - B. - C. -e D. -2e 12. 在数学中,我们把仅有变量不同,而结构、形式相同的两个式子称为同构式,相应的方程称为同构方程,相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea=e6和关于b的方程b(lnb-2)=e3λ-1(a,b∈R)可化为同构方程. (1) 求ab的值; (2) 已知函数f(x)=x,若斜率为k的直线与曲线y=f'(x)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证:x1<<x2. $$高频热点21　同构在函数问题中的应用 1. A　【解析】 f(x)<x2+xlna,即aexlnx<x2+xlna,两边同时除以x得<x+lna,两边同时除以aex得<,即<==,设函数g(x)=,易得g(x)在(0,1)上单调递增,所以x<aex,易知a>0,故<,设h(x)=(x>0),易得h(x)≥h(1)=e,故当x∈(0,1)时,>e,所以≤e,故a≥,选A. 2. B　【解析】 对2ex-2>-aln(x+1)+(a+2)x,变形得:2ex-ax>2(x+1)-aln(x+1),又2ex-ax=2ex-a lnex,所以问题转化为2ex-alnex>2(x+1)-aln(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立,又因为ex>x+1,设f(x)=2ex-ax,则f(x) 在(0,+∞)为增函数,故f'(x)=2ex-a≥0恒成立,故a≤2. 3. BC　【解析】 由ex-mx-lnx-ln(m+1)≥0,得ex-mx≥ln[(m+1)x],即ex+x≥ln[(m+1)x]+(m+1)x=eln[(m+1)x]+ln[(m+1)x],构造f(x)=ex+x,即f(x)≥f(ln[(m+1)x]),因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x≥ln[(m+1)x],所以ex≥(m+1)x,所以m+1≤,令h(x)=,则h'(x)=,所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(1)=e,所以m+1≤e,即m≤e-1,又m+1>0,即m>-1,所以m的取值范围是-1<m≤e-1,所以满足条件的整数m是0,1.故选BC. 4. (0,e]　【解析】 x1-aex-alnx≥0,xex≥xalnxa,令f(x)=xex,易知f(x)在(1,+∞)递增,f(x)≥f(lnxa),所以x≥lnxa=alnx,又因为x>1,lnx>0,即a≤对任意x∈(1,+∞)恒成立,设g(x)=,则g'(x)=,当x∈(1,e)时,g'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(1,e)递减,在(e,+∞)上递增,g(x)min=e,则0<a≤e. 5. 【解析】 设f(x)=ex-x(x>0),则f'(x)=ex-1,所以f(x)