高频热点15 斜率之和为定值的问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点15　斜率之和为定值问题 基础巩固 1. 过点P(-2,1)引抛物线y2=4x的两条切线,切点分别为A,B,F是抛物线y2=4x的焦点,则直线PF与直线AB的斜率之和为 (　　) A. B. C. D. 2. 自点A(-3,3)发出的光线l经过x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-6y+11=0相切,则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为 (　　) A. B. C. D. 3. (多选)在平面直角坐标系中,已知曲线C1上任意一点P与两个定点A(-2,0)和B(2,0) 连线的斜率之和等于2,曲线C2上任意一点Q与两个定点A(-2,0)和B(2,0)连线的斜率之积等于1,则下列关于曲线C1,C2的结论中正确的有 (　　) A. 曲线C1是中心对称图形 B. 曲线C1上所有的点都在圆x2+y2=2外 C. 曲线C1,C2有两个公共点 D. 过点(2,0)且与曲线C2公共点最少的直线中有两条与曲线C1没有公共点 4. 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点为A,B.若该双曲线上存在点P,使得直线PA,PB的斜率之和为1,则该双曲线离心率的取值范围为　　　　.  5. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点M(4,1). (1) 求椭圆C的方程. (2) 若直线l:y=x+m(m≠3)与椭圆C交于P,Q两点,记直线MP,MQ的斜率分别为k1,k2,试探究k1+k2是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 6. 在平面直角坐标系xOy中,已知Q(-1,2),F(1,0),动点P满足|·|=||. (1) 求动点P的轨迹E的方程; (2) 过点F的直线与E交于A,B两点,记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值. 综合应用 7. 已知△ABC的三个顶点都在椭圆:+=1上,设它的三条边AB,BC,AC 的中点分别为D,E,M,且三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1,k2,k3均不为0.O为坐标原点,若直线OD,OE,OM的斜率之和为1,则++为 (　　) A. - B. -3 C. - D. - 8. (多选)已知椭圆C:+=1,斜率为的直线l交椭圆于A,B两点.存在定点P,使得PA,PB的斜率之和为定值,则点P的坐标可以为 (　　) A. B. C. D. (-1,3) 9. 如图,抛物线y2=4x,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,若PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,则直线AB的斜率为　　　　.  (第9题图) 10. 已知圆F1:(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3),圆F2:(x-1)2+y2=(4-r)2. (1) 求证:圆F1与圆F2有公共点.并求公共点的轨迹E的方程. (2) 已知点Q(m,0)(m<0),过点F2斜率为k(k≠0)的直线与(1)中轨迹E相交于M,N两点,记直线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k2,是否存在实数m使得k(k1+k2)为定值?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 拓广探索 11. 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点. (1) 求椭圆C的方程. (2) 如图,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点. ① 若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值; ② 当点A,B运动时,若满足∠APQ=∠BPQ,则直线AB的斜率是否为定值?请说明理由. (第11题图) 12. 已知椭圆C:+=1(a>b>0),O是坐标原点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,点M在椭圆C上,过点F2作∠F1MF2的外角平分线的垂线,垂足为A,且=2b. (1) 求椭圆C的方程. (2) 设直线l:y=kx+m(k>0,m>0)与椭圆C交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率之和为0(其中O为坐标原点). ① 求证:直线l经过定点.并求出定点坐标. ② 求△OPQ面积的最大值. $$ 高频热点15　斜率之和为定值问题 1. D　【解析】 由题意得,过点P(-2,1)引抛物线y2=4x的两条切线,切点分别为A,B,设切线的斜率为k,所以切线的方程为y-1=k(x+2),可求得求点A(1,-2),B(4,4),又F是抛物线y2=4x的焦点,所以焦点F(1,0),从而kPF+kAB=,故选D. 2. C　【解析】 A(-3,3)关于x轴的对称点为B(-3,-3),题中反射光线与圆M相切,即为过B点的圆的切线,切线斜率显然存在,设切线方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0,圆M标准方程为(x-2)2+(y-3)2=2,圆心为M(2,3),半径为r=,点